質問<861>2002/6/11
Qを有理数の集合とする。集合G、Sをそれぞれ G={α│α=а+b√2, a,b∈Q,a∧2+b∧2≠0} S={(α0)│ {(γβ)│ α,β,γ∈G} とするとき、次の問に答えなさい。 (1)Sは行列の積に関して閉じているか。 (2)Sは行列の積に関して群をなすか否かを定義に従って 調べよ。 よろしくお願いします。
お便り2002/6/13
from=phaos
G は 1/(a + b√2) = (a - b√2)/(a^2 - 2b^2) で a, b が有理数だから, a^2 - 2b^2 ≠0 なので, 乗法群をなす。 加法は 0 が入っていないので群にはならない。 a + b√2 と - a - b√2 が同時に G に入っているので 加法に関しては閉じていない。 (1) (α 0)(α' 0) (γ β)(γ' β') = (αα' 0) (α'γ + βγ' ββ') であるが, γ = γ' = 1, α' = -β の時, S の元でなくなるので 積に関して閉じていない。 (2) 積に関して閉じていないので群になるはずがない。