質問＜８６１＞２００２／６／１１
from=とーます
「群について」

Ｑを有理数の集合とする。集合Ｇ、Ｓをそれぞれ

Ｇ＝｛α│α＝а＋ｂ√２，
　　　ａ，ｂ∈Ｑ，ａ∧2＋ｂ∧2≠０｝


Ｓ＝｛(α０)│
　　｛(γβ)│　α，β，γ∈Ｇ｝

とするとき、次の問に答えなさい。
(１)Ｓは行列の積に関して閉じているか。
(２)Ｓは行列の積に関して群をなすか否かを定義に従って　　調べよ。
よろしくお願いします。

お便り２００２／６／１３
from=phaos

G は 1/(a + b√2) = (a - b√2)/(a^2 - 2b^2)
で a, b が有理数だから, a^2 - 2b^2 ≠0 なので, 乗法群をなす。
加法は 0 が入っていないので群にはならない。
a + b√2 と - a - b√2 が同時に G に入っているので
加法に関しては閉じていない。

(1)
(α 0)(α' 0)
(γ β)(γ' β')
=
(αα' 0)
(α'γ + βγ' ββ')
であるが, 
γ = γ' = 1, α' = -β の時, S の元でなくなるので
積に関して閉じていない。

(2) 積に関して閉じていないので群になるはずがない。