質問＜８７＞９８／１１／２３
from=安西
「三角方程式」

初めての質問ですがよろしくお願いします
私は私立の中学３年生です

質問
ｘ，ｙに関する連立方程式
cosｘ＋cosｙ＝ａ
cosｘ・cosｙ＝ｂ
が解をもつとき、次の問に答えよ。
（１）定数ａ，ｂの満たす条件を求め、これを満たす点
（ａ，ｂ）の領域を図示せよ。

（２）cos2ｘ＋cos2ｙ＋cosｘ・cosｙ
（＝ｋとおく）の取りうる値の範囲を求めよ。

お返事９８／１１／２４
from=武田

（１）解と係数の関係より
cosｘ＋cosｙ＝ａ
cosｘ・cosｙ＝ｂならば、
ｔ2－ａｔ＋ｂ＝０の解がcosｘ、cosｙとなる。
f(t)＝ｔ2－ａｔ＋ｂとおくと、
f(t)＝(ｔ－ａ/2)2－ａ2/4＋ｂ
頂点（ａ/2，ｂ－ａ2/4）
－１≦cosｘ≦１、－１≦cosｙ≦１より、
－２≦cosｘ＋cosｙ≦２
－２≦ａ≦２
－１≦ａ/2≦１
頂点が－１と１の間にある。

二次関数f(t)のｔ軸の交点（または解）はcosｘまたはcosｙ
であるが、－１以上１以下である必要がある。
そのためには、
f(-1)≧０、f(a/2)≦０、f(1)≧０であることが必要である。
したがって、
f(-1)＝１＋ａ＋ｂ≧０
∴ｂ≧－ａ－１……①
f(a/2)＝ｂ－ａ2/4≦０
∴ｂ≦1/4・ａ2……②
f(1)＝１－ａ＋ｂ≧０
∴ｂ≧ａ－１……③

したがって、点（ａ，ｂ）の領域は赤色の部分となる。

（２）
ｋ＝cos2ｘ＋cos2ｙ＋cosｘ・cosｙ
　＝(cosｘ＋cosｙ)2－cosｘ・cosｙ
　＝ａ2－ｂ
したがって、
ｂ＝ａ2－ｋ
この放物線が点（ａ，ｂ）の領域内を通るとき、

ｋの値の範囲は０≦ｋ≦３となる。