質問＜８７７＞２００２／６／２３
from=saya
「二次不等式」

問題1
0＜x＜3の範囲において、次の不等式が常に成り立つような定数aの値を
もとめよ。
（1）Ｘ2+2（ａ-1）Ｘ-ａ+3＞0

（2）ｘ2+2（ａ-1）Ｘ-ａ-5＜0

問題2
二次関数Y=PX2+QX+Rのグラフの頂点が点（3、-8）で、Y＜0
となるXの値の範囲が
K＜X＜K+4のとき、定数P,Q,RとKの値を求めよ

お便り２００２／６／２４
from=phaos

(面倒だから大文字は全部小文字に書き換えた)
問題 1
(1)
y = x^2 + 2(a - 1)x - a + 3 と置く。
x = 0 ⇒ y = -a + 3 ≧ 0 より a ≦ 3.
x = 3 ⇒ y = 5a + 6 ≧ 0 より a ≧ -6/5.
これらを満たすのは -6/5 ≦ a ≦ 3.

頂点のx  座標は
x = -(a - 1) でこれが 0 ＜ x ＜ 3 に入るには
-3 ＜ a - 1 ＜ 0 即ち -2 ＜ a ＜ 1 である。
即ち上記の場合のうち 1 ≦ a ≦ 3 の場合は問題ないが
(-2 ＜) -6/5 ≦ a ＜ 1 のところでは頂点が問題の区間に入ってくるので
最小値が + でないといけない。
このとき
x = -(a - 1)
⇒
y = (a - 1)^2 - 2(a - 1)^2 - a + 3
= -(a - 1)^2 - a + 3
= -a^2 + 2a - 1 - a + 3
= -a^2 + a + 2 > 0
a^2 - a - 2 ＜ 0
(a -2)(a + 1) ＜ 0
つまり -1 ＜ a ＜ 2.

以上より
-1 ＜ a ≦ 3.

(2)
y = x^2 + 2(a - 1)x - a - 5 と置く。
x = 0 ⇒ y = - a - 5 ≦ 0 より a ≧ - 5.
x = 3 ⇒ y = 9 + 6a - 6 - a - 5 = 5a - 2 ≦ 0 より a ≦ 2/5.
この放物線は下に凸なので
-5 ≦ a ≦ 2/5.

問題 2
y ＜ 0 となる x が k ＜ x ＜ k + 4 だから p > 0 で
y = p(x - k)(x - k - 4)
である。対称性から頂点の x 座標は
(k + (k + 4))/2 = 3
即ち k + 2 = 3 即ち k = 1.
よって
y = p(x - 1)(x - 5)
で, x = 3 ならば y = -4p = -8 (頂点の y 座標)
故に p = 2 (適).
よって
y = 2(x - 1)(x - 5) = 2x^2 - 12x + 10
だから
q = -12, r = 10.