質問<89>98/11/26
このHPでよく「テイラー展開」という言葉を目にしますが、 これはいったいなんなんでしょうか? よろしければ証明も含めて説明お願いします。
お返事98/11/27
from=武田
18世紀前半にイギリスで活躍した数学者Brook Taylorが考 えた展開で、 (b-a)2 (b-a)3 f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+── f''(a)+ ── f'''(a)+…… 2! 3! テイラー展開とかテイラー級数とか言う。 関数f(x)が連続で微分可能な区間であれば、テイラー展開が 作れる。 b=x、a=0とすると、 x2 x3 f(x)=f(0)+xf'(0)+── f''(0)+ ── f'''(0)+…… 2! 3! となり、関数f(x)は0の所での導関数で表現できる。 このあたりを詳しく調べたマクローリンの名前をつけて、 マクローリン展開とも言う。一般にテイラー展開という。 例えば、 sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+…… cosx=1-x2/2!+x4/4!-x6/6!+…… ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+…… log(1+x)=x-x2/2+x3/3-x4/4+……ただし、-1<x≦1 等々である。 いろいろと考えられた関数を一つの形式で表現したかったの だろうか?または、微積分が考え出されたときなので、使っ てみたらこうなったのだろうか?動機は分からない。 証明だが、 関数f(x)がべき級数で表現できたとすると、 f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…… 微分して、 f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+…… f''(x)=2a2+3・2a3x+4・3a4x2+…… f'''(x)=3・2・1a3+4・3・2a4x+…… ここで、x=0を代入すると、 f(0)=a0 f'(0)=a1 f''(0)=2a2したがって、a2=f''(0)/2! f'''(0)=3・2・1a3したがって、a3=f'''(0)/3! べき級数に戻して、 f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!・x2+f'''(0)/3!・x3+…… となる。出発点はべき級数からであったようだ。