質問＜８９＞９８／１１／２６
from=まち
「テイラー展開」

このＨＰでよく「テイラー展開」という言葉を目にしますが、
これはいったいなんなんでしょうか？
よろしければ証明も含めて説明お願いします。

お返事９８／１１／２７
from=武田

１８世紀前半にイギリスで活躍した数学者Brook Taylorが考
えた展開で、
　　　　　　　　　　　　(b-a)2　　　　　(b-a)3
f(b)＝f(a)＋(b-a)f'(a)＋── f''(a)＋ ── f'''(a)＋……
　　　　　　　　　　　　　２！　　　　　３！
テイラー展開とかテイラー級数とか言う。
関数f(x)が連続で微分可能な区間であれば、テイラー展開が
作れる。
ｂ＝ｘ、ａ＝０とすると、
　　　　　　　　　　　x2　　　　　　x3
f(x)＝f(0)＋xf'(0)＋── f''(0)＋ ── f'''(0)＋……
　　　　　　　　　　　２！　　　　　３！
となり、関数f(x)は０の所での導関数で表現できる。
このあたりを詳しく調べたマクローリンの名前をつけて、
マクローリン展開とも言う。一般にテイラー展開という。
例えば、
sinｘ＝ｘ－ｘ3／３！＋ｘ5／５！－ｘ7／７！＋……
cosｘ＝１－ｘ2／２！＋ｘ4／４！－ｘ6／６！＋……
ｅx＝１＋ｘ／１！＋ｘ2／２！＋ｘ3／３！＋……
log（１＋ｘ）＝ｘ－ｘ2／２＋ｘ3／３－ｘ4／４＋……ただし、－１＜ｘ≦１
等々である。
いろいろと考えられた関数を一つの形式で表現したかったの
だろうか？または、微積分が考え出されたときなので、使っ
てみたらこうなったのだろうか？動機は分からない。

証明だが、
関数f(x)がべき級数で表現できたとすると、
f(x)＝ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ2＋ａ3ｘ3＋ａ4ｘ4＋……
微分して、
f'(x)＝ａ1＋２ａ2ｘ＋３ａ3ｘ2＋４ａ4ｘ3＋……
f''(x)＝２ａ2＋３・２ａ3ｘ＋４・３ａ4ｘ2＋……
f'''(x)＝３・２・１ａ3＋４・３・２ａ4ｘ＋……
ここで、ｘ＝０を代入すると、
f(0)＝ａ0
f'(0)＝ａ1
f''(0)＝２ａ2したがって、ａ2＝f''(0)／２！
f'''(0)＝３・２・１ａ3したがって、ａ3＝f'''(0)／３！
べき級数に戻して、
f(x)＝f(0)＋f'(0)ｘ＋f''(0)／２！・ｘ2＋f'''(0)／３！・ｘ3＋……
となる。出発点はべき級数からであったようだ。