質問<892>2002/7/8
”老朽化”と申します。 もう一問教えていただきたい問題があるのですが、 よろしいでしょうか... 問題:ラグランジュの補間公式が与えられた点(xi,yi)(i=0~n) のすべてを通ることを証明しなさい。 ラグランジュの補間公式を書いておきます。 ○ Pn(x)=シグマ(yk*lk(x)) (シグマ:k=0からnまで) ○ lk(x)=(x-x0)*...*(x-x(k-1))*(x-x(k+1))*...*(x-xn)/(xk-x0)* ...*(xk-x(k-1))*(xk-x(k+1))*...*(xk-xn) (xi,yiのiはx,yの添え字です。) (lk,x0,...,x(k-1),xk,x(k+1),...,xnのkやnなどはl,xの添え字です。) また、ヒントとして、 lk(xi)=δikであることを言えばよい。 ここで、δikはクロネッカーのデルタであり、 δik=1(if i=k),δik=0(if i!=k)で定義される。 と書かれていました。 δがよく分からないのですが、その点も含めて教えてください。 たびたび申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
お便り2002/7/11
from=phaos
l_k(x_j) (j ≠k) を考えましょう。 すると, 分子に必ず (x - x_j) がありますので, l_k(x_j) = 0 となることが分かりますね。 l_k(x_k) を考えると, 分子には (x - x_k) が除かれていますから 0 にはなりません。 代入した結果を見ると分子と分母が一致していますね ? だから l_k(x_k) = 1 です。 以上のことを Kronecker の delta を用いて書くと l_k(x_i) = δ_(ik) であることになります。 さてそうすると y_k*l_k(x_i) = y_k*δ_(ik) なので i = k の時, y_k, それ以外では 0 になります。 P_n(x) はそれらの和ですから P_n(x_k) = y_kが分かるわけです。 勿論 x が x_i 以外の値を採るときに どういう価を採るのかは不明です。