質問

”老朽化”と申します。
もう一問教えていただきたい問題があるのですが、
よろしいでしょうか...

問題：ラグランジュの補間公式が与えられた点(xi,yi)(i=0～n)
のすべてを通ることを証明しなさい。

ラグランジュの補間公式を書いておきます。
○ Pn(x)=シグマ(yk*lk(x)) (シグマ:k=0からnまで)

○ lk(x)=(x-x0)*...*(x-x(k-1))*(x-x(k+1))*...*(x-xn)/(xk-x0)*
...*(xk-x(k-1))*(xk-x(k+1))*...*(xk-xn)
(xi,yiのiはx,yの添え字です。)
(lk,x0,...,x(k-1),xk,x(k+1),...,xnのkやnなどはl,xの添え字です。）

また、ヒントとして、

lk(xi)=δikであることを言えばよい。
ここで、δikはクロネッカーのデルタであり、
δik=1(if i=k),δik=0(if i!=k)で定義される。

と書かれていました。

δがよく分からないのですが、その点も含めて教えてください。
たびたび申し訳ないのですが、よろしくお願いします。

お便り２００２／７／１１
from=phaos

l_k(x_j) (j ≠k) を考えましょう。
すると, 分子に必ず (x - x_j) がありますので, l_k(x_j) = 0 
となることが分かりますね。

l_k(x_k) を考えると, 分子には (x - x_k) が除かれていますから
 0 にはなりません。
代入した結果を見ると分子と分母が一致していますね ?
だから l_k(x_k) = 1 です。

以上のことを Kronecker の delta を用いて書くと
l_k(x_i) = δ_(ik)
であることになります。

さてそうすると
y_k*l_k(x_i) = y_k*δ_(ik)
なので
i = k の時, y_k, それ以外では 0 になります。
P_n(x) はそれらの和ですから
P_n(x_k) = y_kが分かるわけです。
勿論 x が x_i 以外の値を採るときに
どういう価を採るのかは不明です。