質問＜８９８＞２００２／７／２６
from=hiroto
「証明問題」

1.三角形の三つの中線は一点で交わる。

2.またその交点である重心は三つの中線を２：１に分ける。

これを面積や重さの概念を使わずに証明せよ。

お願いします。

お便り２００２／７／３１
from=Tetsuya Kobayashi

いかなる三角形ABCも、xy座標平面上において移動を施すことにより、
A(0,0),B(a,0),C(b,c) (a≠0,c≠0)と書くことができます。
このとき、3つの中線はそれぞれ、
(a+b)y=cx 、 (b-2a)y=c(x-a) 、 (2b-a)y=c(2x-a) 
と書くことができ、計算によりどの2つの共有点もただ1つ存在し、
G((a+b)/3,c/3)であることがわかります。
したがって、3つの中線が1点で交わることが言えたことになります。

さて、線分の場合、x座標またはy座標が1:2に分けられていれば、
線分自体も1:2に分けられていると言えますから、
AB,BC,CAそれぞれの中点を算出してやって、
A,B,CとかGとかと共に評価してやればよいわけです。

※チェバの定理の逆定理とかメネラウスの定理とか使えると
　いとも簡単なんですが、
　これらの定理って面積の概念を利用していますしねぇ...。

お便り２００２／８／１
from=phaos

重心定理の証明は

http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/dgs/03/2-160_2.htm

が分かり易いと思われる。

お便り２００２／８／１
from=hiro-kim

「Ｇoogle」にて，キーワード [三角形 中線] で検索して
次のページを発見。
「中点連結定理」と「三角形の重心」のページを参照。

http://www3.ocn.ne.jp/~kokoten/room1.htm