質問＜９２８＞２００２／８／２４
from=マグ
「微分　証明の問題」

次の問題をお願いします。

問、実数全体で定義された関数f(x)が、
　　第２次導関数f"(x)をもつとする。

（1）y＝f(x)のグラフが直線x＝aに関して対称であれば、
　　f'(a)＝０　であることを示せ。

（2）y＝f(x)のグラフが点（a、f(a)）に関して対称であれば、
　　f"(a)＝０　であることを示せ。　

お便り２００２／８／２５
from=Tetsuya Kobayashi

(1)
条件より、f(a+x)=f(a-x) 。
x で微分して、f'(a+x)=-f(a-x) 。
x=0 を代入して、f'(a)=-f'(a) よって f'(a)=0 。

(2)
条件より、f(a+x)+f(a-x)=2a 。
x で微分して、f'(a+x)-f'(a-x)=0 。
さらに x で微分して、f"(a+x)+f"(a-x)=0 。
x=0 を代入して、f"(a)+f"(a)=0 よって f"(a)=0 。