質問<962>2002/9/24
初めまして。 どうしても分からない問題があるのでお願いします。 ∫x^4/(x^3-3x+2)dx
お便り2002/9/25
from=phaos
∫x^4dx/(x^3-3x+2)dx = ∫(x(x^3 - 3x+2) + 3x^2 - 2x)dx/(x^3 - 3x+2) = ∫(x + (3x^2 - 2x)/(x^3 - 3x+2))dx = ∫xdx + ∫((3x^2 - 2x)/(x^3 - 3x+2))dx = x^2/2 + ∫((3x^2 - 2x)/((x + 2)(x - 1)^2)) dx ここで (3x^2 - 2x)/((x + 2)(x - 1)^2) = a/(x + 2) + b/(x - 1) + c/(x - 1)^2 と置いて分母を払うと a(x - 1)^2 + b(x + 2)(x - 1) + c(x + 2) = 3x^2 - 2x この式で x = -2 ⇒ 9a = 16 ∴a = 16/9. x = 1 ⇒ 3c = 1 ∴c = 1/3. 従って 16(x - 1)^2 + 9b(x + 2)(x - 1) + 3(x + 2) = 9(3x^2 - 2x) x = 0 を代入すると 16 - 18b + 6 = 0 ∴b = 11/9. 以上より 与式 = x^2/2 + (16/9)∫dx/(x + 2) + (11/9)∫dx/(x - 1) + (1/3)∫dx/(x -1)^2 = x^2/2 + (16/9) log |x + 2| + (11/9) log |x - 1| + 1/(3(x - 1)) + C, C は積分定数。
お便り2002/9/25
from=Tetsuya Kobayashi