質問＜９６２＞２００２／９／２４
from=大塚
「不定積分」

初めまして。
どうしても分からない問題があるのでお願いします。

∫x^4/(x^3-3x+2)dx

お便り２００２／９／２５
from=phaos

∫x^4dx/(x^3-3x+2)dx
= ∫(x(x^3 - 3x+2) + 3x^2 - 2x)dx/(x^3 - 3x+2)
= ∫(x + (3x^2 - 2x)/(x^3 - 3x+2))dx
= ∫xdx + ∫((3x^2 - 2x)/(x^3 - 3x+2))dx
= x^2/2 + ∫((3x^2 - 2x)/((x + 2)(x - 1)^2)) dx

ここで
(3x^2 - 2x)/((x + 2)(x - 1)^2) = a/(x + 2) + b/(x - 1) + c/(x - 1)^2
と置いて分母を払うと
a(x - 1)^2 + b(x + 2)(x - 1) + c(x + 2) = 3x^2 - 2x
この式で
x = -2 ⇒ 9a = 16 ∴a = 16/9.
x = 1 ⇒ 3c = 1 ∴c = 1/3.
従って
16(x - 1)^2 + 9b(x + 2)(x - 1) + 3(x + 2) = 9(3x^2 - 2x)
x = 0 を代入すると
16 - 18b + 6 = 0
∴b = 11/9.

以上より
与式 = x^2/2 + (16/9)∫dx/(x + 2)
　　　　　　 + (11/9)∫dx/(x - 1) + (1/3)∫dx/(x -1)^2
　　 = x^2/2 + (16/9) log |x + 2| + (11/9) log |x - 1|
　　　　　　 + 1/(3(x - 1)) + C,
C は積分定数。

お便り２００２／９／２５
from=Tetsuya Kobayashi