質問＜９６４＞２００２／９／２６
from=拓ちゃん
「三次関数の範囲」

(x + a)^3 - 3x - a^2 = 0
が負の解を持たないように実数aの範囲を定めなさい。

という問題がわかりません。
自分自身で解くと、問題の答えと一致しません。
誰か、正しい答えを教えてください。
よろしくお願いします。

お便り２００２／９／２７
from=phaos

f(x) = (x + a)^3 - 3x - a^2
と置く。
f(0) = -a^2 ≦ 0.

f'(x) = 3(x + a)^2 - 3 = 3((x + a)^2 - 1)
= (x + a + 1)(x + a - 1)
f(x) = 0 とすると x = - a - 1, -a + 1.
増減表を書くと, x = -a - 1 で極大, x = -a + 1 で極小。
f(-a - 1) = -a^2 + 3a + 2.

さて, 明らかに -a - 1 ＜ -a + 1 である。

先ず第一に 0 ≦ -a - 1 即ち a ≦ -1 として
グラフを描くと, 負の解を持たないための条件は f(0) ＜ 0 だが
それは満たされているので。この場合 a ≦ -1.

次に -a - 1 ＜ 0 ≦ -a + 1 即ち -1 ＜ a ≦ 1 の場合は
同様にして f(-a - 1) ＜ 0 即ち
-a^2 + 3a + 2 ＜ 0
つまり
a^2 - 3a - 2 > 0
a ＜ (3 - √17)/2, (3 + √17)/2 ＜ a
だから結局
((3 - √17)/2 ≒ -0.56, (3 + √17)/2 ≒ 3.56 だから)
この場合は適するものがない。

最後に -a + 1 ＜ 0 即ち a > 1 の場合も
ほぼ前の場合と同様 f(-a - 1) ＜ 0 であるから
a ＜ (3 - √17)/2, (3 + √17)/2 ＜ a.
従って この場合 a > (3 + √17)/2.

以上纏めて
a ≦ -1, (3 + √17)/2 ＜ a.

お便り２００２／１０／２
from=Tetsuya Kobayashi

こんにちは。

[964.]phaos さんの解答、3行目からすでに間違っている気が...。
正しい正解は a＜(3-√17)/2 となるはずです。