質問<964>2002/9/26
(x + a)^3 - 3x - a^2 = 0 が負の解を持たないように実数aの範囲を定めなさい。 という問題がわかりません。 自分自身で解くと、問題の答えと一致しません。 誰か、正しい答えを教えてください。 よろしくお願いします。
お便り2002/9/27
from=phaos
f(x) = (x + a)^3 - 3x - a^2 と置く。 f(0) = -a^2 ≦ 0. f'(x) = 3(x + a)^2 - 3 = 3((x + a)^2 - 1) = (x + a + 1)(x + a - 1) f(x) = 0 とすると x = - a - 1, -a + 1. 増減表を書くと, x = -a - 1 で極大, x = -a + 1 で極小。 f(-a - 1) = -a^2 + 3a + 2. さて, 明らかに -a - 1 < -a + 1 である。 先ず第一に 0 ≦ -a - 1 即ち a ≦ -1 として グラフを描くと, 負の解を持たないための条件は f(0) < 0 だが それは満たされているので。この場合 a ≦ -1. 次に -a - 1 < 0 ≦ -a + 1 即ち -1 < a ≦ 1 の場合は 同様にして f(-a - 1) < 0 即ち -a^2 + 3a + 2 < 0 つまり a^2 - 3a - 2 > 0 a < (3 - √17)/2, (3 + √17)/2 < a だから結局 ((3 - √17)/2 ≒ -0.56, (3 + √17)/2 ≒ 3.56 だから) この場合は適するものがない。 最後に -a + 1 < 0 即ち a > 1 の場合も ほぼ前の場合と同様 f(-a - 1) < 0 であるから a < (3 - √17)/2, (3 + √17)/2 < a. 従って この場合 a > (3 + √17)/2. 以上纏めて a ≦ -1, (3 + √17)/2 < a.
お便り2002/10/2
from=Tetsuya Kobayashi
こんにちは。 [964.]phaos さんの解答、3行目からすでに間違っている気が...。 正しい正解は a<(3-√17)/2 となるはずです。