質問＜９７０＞２００２／１０／２
from=ベロン
「絶対値を含む一次関数」

問

ｆ(0)=0をみたす関数f(x)がすべての実数x,yについて、

|f(x)-f(y)|=|x-y|であるとき、
|f(x)|　,　f(x)・f(y)  ,  f(x＋y)  はそれぞれ次の
選択肢のうちどれになりますか


選択肢；ｘ，ｙ，xy,|x|,|y|,x＋y,|x|+|y|,
       f(x)-f(y),f(x)+f(y)

お便り２００２／１０／７
from=phaos

y = 0 とすると
|f(x) - f(0)| = |x - 0|
即ち |f(x)| = |x|.
|x - y| ＜ ε とすると 
|f(x) - f(y)| ＜ ε だから f(x) は連続である。
だから f(x) = x, -x, |x| の三つの可能性があるが,
f(x) = |x| とすると
|f(x) - f(y)| = ||x| - |y|| となって与式を満たさない。
従って f(x) = x 又は f(x) = -x の何れかである。
何れにしても
f(x)f(y) = xy.
f(x + y) = f(x) + f(y).