質問

C:y=1/x に対して、第１象限内でCの下に点 P をとり、
点 P から C に２本の接線を引く。
この接線とC に囲まれた図形の面積が log3 -1となるように、
点 P を動かしたときの点 P の存在範囲は？

きれいな式で出るそうです。
よろしくお願いいたします。

お便り２００２／１０／８
from=下野哲史

２つの接点を (a,1/a),(b,1/b) とする。(b>a)
題意から
点Pの座標は ( 2ab/(a+b) , 2/(a+b) ) 、また
log(b/a) - 2(b-a)/(b+a)=log 3 -1 
という方程式を得ることができる。
ここで b/a=k とおくと、（ただし、b>a より k>1)
log(k)- 2(k-1)/(k+1) =log 3 -1 となり、
k=3 のとき満たすことが分かる。
これ以外の解は、
log(x) -2(x-1)/(x+1) は
k>1 で 単調増加であるため存在しない。
b/a=3 より b=3a
これより xy=3/4 となる。
お騒がせいたしました。

お便り２００２／１０／９
from=phaos

接点を Q(a, 1/a), R(b, 1/b), 0 ＜ a ＜ b と置く。
y' = -1/x^2 だから, Q, R に於ける接線は各々
y = -x/a^2 + 2/a,
y = -x/b^2 + 2/b.
よってこれらの交点である P は
-x/a^2 + 2/a = -x/b^2 + 2/b
から x = 2ab/(a + b)
従って y = 2/(a + b)
となるので
P(2ab/(a + b), 2/(a + b)).

さて, 考えるべき面積は
∫_a^(2ab/(a + b)) (1/x + x/a^2 - 2/a)dx + ∫_(2ab/(a + b))^b (1/x +
x/b^2 - 2/b)dx
= [log x + x^2/a^2 - 2x/a]_a^(2ab/(a + b)) + [log x + x^2/b^2 -
2x/b]_(2ab/(a + b))^b
= log(2ab/(a + b)) + (1/2a^2)(2ab/(a + b))^2 - (2/a)(2ab/(a + b)) - log
a - 1/2 + 2 
　+ log b + 1/2 - 2 - log(2ab/(a + b)) - (1/2b^2)(2ab/(a + b))^2 + (2/b)
(2ab/(a + b))
= log (b/a) + 2(b^2 - a^2)/(a + b)^2 + 4(a - b)/(a + b)
= log (b/a) + 2(b - a)/(a + b) + 4(a - b)/(a + b)
= log (b/a) + 2(a - b)/(a + b). 

これが log 3 - 1 に等しくならなければならない。
一寸ずるいが b/a = 3 だと仮定して
b = 3a を後ろの項に代入してみると 2(a - b)/(a + b) = -4a/4a = -1 で適し
ている。
従って b = 3a.
よって P(2ab/(a + b), 2/(a + b)) = ((3a/2, 1/(2a)), a > 0.
x = 3a/2,
y = a/(2a)
とすると a = 2x/3 だから
y = 3/(4x), x > 0
これが P の存在範囲 (の一つ) である。

「解の唯一性は, 下記の下野哲史氏の解答と同様に検証される」

お便り２００２／１０／１０
from=下野哲史

phaos さんの考察について、
以下のような検証をいたしましたのでご報告いたします。

この問題は、確かに
　log (b/a) + 2(a - b)/(a + b) = log 3 - 1
を解くところが鍵ですが、t=b/a (t>1) とおくと
  log (t) + 2(a-at)/(a+at)= log3 -1
  log (t) + 2(1-t)/(1+t)  = log3 -1
であり、t=3 を代入すると成り立つため、これが１つの解となる。
その他の解の存在の有無についてですが、
  y =log(t) +2(1-t)/(1+t) とおくと、
  y'=1/t +(-4)/(1+t)^2=(1-t)^2/(t(1+t)^2) より
  t>1 において y'>0 であるから単調増加であり
　これより、t=3 以外に解は存在しない。
間違っていたらご指摘下さい。お願いいたします。

ちなみに、
  t=a/b (0＜t＜1) でも
  log(3t) = (3t-1)/(t+1) を満たすのは t=1/3 以外には存在しない
　しないような気がします。
　y =log(3t) - (3t-1)/(t+1) とおくと
  y'= 3(t^2+1)/(t+1)^2 > 0 である。以下同様。

東大の過去問にも、ある一つの解を推測して
他に解が存在しないことを示す問題がありました。
うまい方法があるものですね。