質問＜９９９＞２００２／１１／６
from=しも
「ベクトル」

三角形ＡＢＣにおいて、ＢＣを1：2に内分する点をＤ、Ｂから
ＡＣに下ろした垂線の足をＥ，ＡＤとＢＥの交点をＦとする。
三角形ＡＢＣが正三角形のとき、ＡＦベクトルをＡＢベクトル、
ＡＣベクトルで表せ。

お便り２００２／１１／７
from=phaos

$\vec{b} = \vec{AB}$
$\vec{c} = \vec{AC}$
と置く。
題意より
D((\vec{b} + 2\vec{c})/3),
△ABC が正三角形だから E(\vec{c}/2).
従って
s((\vec{b} + 2\vec{c})/3) = t(\vec{c}/2) + (1 - t)\vec{c},
0 ＜ s ＜ 1, 0 ＜ t ＜ 1
と書ける。
$\vec{b}$ と $vec{c}$ は一次独立だから (平行でないから)
s = 3(1 - t),
4s = 3t
従って
s = 3/5,
t = 4/5
だから
\vec{AF} = (\vec{b} + 2\vec{c})/5.

図を描いて BF:FE = 4:1, AF:FD = 3:2 を出しても出来る。