質問<1095>2003/1/28
①C=∫_0^1 e^ax cosbx dx (a・b≠0) ②平面曲線T:(x,y)=(x,cos hx), x∈[0,b], (b>0,定数)に関して、 1)Tは生息平面曲線であることを示せ。 2)Tの長さL(T)を求めよ。 ③K:={(x,y)|x^2/a^2+y^2/b^2≦1}のとき、 ∬y^2 dxdy の値を求めよ。 K ④ 1) 広義積分∬e^(-x^2)・e^(-y^2) dxdy の値の求めよ。 2) 1)の結果を用いて、広義積分∫_-∞^∞ e^(-x^2)dxの値を求めよ。
お便り2003/1/28
from=phaos
(1) http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int2/byparts.htmの(7) により ∫_0^1 e^(ax) cosbx dx = [e^(ax)(a cos bx + b sin bx)/(a^2 + b^2)]_0^1 = ((e^a)(a cos b + b sin b) - a)/(a^2 + b^2). (2) 1) 生息→正則 x で微分すると (1, -h sin hx) でこれは 0 (ベクトル) にならないから正則。 (3) K: -(1 - x^2/a^2) ≦ y^2/b^2 ≦1 - x^2/a^2 だから 与式 = ∫_(-a)^a(2∫_0^√(1 - x^2/a^2) y^2 dy) dx = ∫_(-a)^a (2/3)[y^3]_0^√(1 - x^2/a^2) dx = (2/3)∫_(-a)^a √(1 - x^2/a^2)^3 dx = (4/3)∫_0^a √(1 - x^2/a^2)^3 dx ここで x = a sin t と置換すると 与式 = (4a/3)∫_0^(π/2) cos^4 t dt = aπ/4. (http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int2/defint/byparts.htmの[11] を用いた) (4) 1) x = r cos t, y = r sin t と置換する 与式 = ∫ e^(-r^2) r dr dt = π[-e^(-r^2)]_0^∞ = π. 2) π = (∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx)^2 だから ∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = √π.