質問＜１０９５＞２００３／１／２８
from=やー
「積分」

①Ｃ=∫_0^1 e^ax cosbx dx (a・b≠0)

②平面曲線Ｔ：(x,y)=(x,cos hx), x∈[0,b], (b＞0,定数)に関して、
1)Ｔは生息平面曲線であることを示せ。
2)Ｔの長さL(T)を求めよ。

③Ｋ：＝｛(x,y)｜x^2/a^2＋y^2/b^2≦1｝のとき、
∬y^2 dxdy　の値を求めよ。
 K

④　1) 広義積分∬e^(-x^2)・e^(-y^2) dxdy の値の求めよ。
　　2) 1)の結果を用いて、広義積分∫_-∞^∞ e^(-x^2)dxの値を求めよ。

お便り２００３／１／２８
from=phaos

(1)
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int2/byparts.htmの(7) により
∫_0^1 e^(ax) cosbx dx
= [e^(ax)(a cos bx + b sin bx)/(a^2 + b^2)]_0^1
= ((e^a)(a cos b + b sin b) - a)/(a^2 + b^2).

(2)
1) 生息→正則
x で微分すると
(1, -h sin hx) でこれは 0 (ベクトル) にならないから正則。

(3) K: -(1 - x^2/a^2) ≦ y^2/b^2 ≦1 - x^2/a^2 だから
与式 = ∫_(-a)^a(2∫_0^√(1 - x^2/a^2) y^2 dy) dx
= ∫_(-a)^a (2/3)[y^3]_0^√(1 - x^2/a^2) dx
= (2/3)∫_(-a)^a √(1 - x^2/a^2)^3 dx
= (4/3)∫_0^a √(1 - x^2/a^2)^3 dx
ここで x = a sin t と置換すると
与式 = (4a/3)∫_0^(π/2) cos^4 t dt
= aπ/4.
(http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int2/defint/byparts.htmの[11] を用いた)

(4)
1) x = r cos t, y = r sin t と置換する
与式 = ∫ e^(-r^2) r dr dt
= π[-e^(-r^2)]_0^∞
= π.

2) π = (∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx)^2
だから
∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = √π.