質問

aを実数とし、2次方程式x^2－2(a＋1）x＋4＝0を考える。
この2次方程式が2つの解を持つ時、虚数解の３乗が
それぞれ実数となるaの値を求めよ。
お願いします。

お返事２００３／９／２
from=武田

虚数解をもつから、α＋βｉとすると、共役な複素数α－βｉも解となる。
解と係数の関係より、
（α＋βｉ）＋（α－βｉ）＝２（ａ＋１）
∴α＝ａ＋１
（α＋βｉ）（α－βｉ）＝４
α^2－（βｉ）^2＝４
β^2＝４－α^2
　　＝４－（ａ＋１）^2
　　＝－ａ^2－２ａ＋３

虚数解の３乗が実数となるから、
（α＋βｉ）^3＝α^3＋３α^2（βｉ）＋３α（βｉ）^2＋（βｉ）^3
　　　　　　　＝（α^3－３αβ^2）＋（３α^2β－β^3）ｉ
虚部が０より、
３α^2β－β^3＝０
β（３α^2－β^2）＝０
解が虚数より、β≠０
３α^2－β^2＝０
３（ａ＋１）^2－（－ａ^2－２ａ＋３）＝０
３ａ^2＋６ａ＋３＋ａ^2＋２ａ－３＝０
４ａ^2＋８ａ＝０
４ａ（ａ＋２）＝０
∴ａ＝０，－２
①ａ＝０ならば、２解は、１＋√３ｉと１－√３ｉ
　３乗しても実数となる。
　（１＋√３ｉ）^3＝１＋３√３ｉ－９－３√３ｉ
　　　　　　　　　＝－８
②ａ＝－２ならば、２解は、－１＋√３ｉと－１－√３ｉ
　３乗しても実数となる。
　（－１＋√３ｉ）^3＝－１＋３√３ｉ＋９－３√３ｉ
　　　　　　　　　＝８

したがって、
ａ＝０，－２………（答）

お便り２００３／９／３
from=Tetsuya Kobayashi

実係数二次方程式が虚根を持つのですから、判別式は負です。
その条件のもとで、arg(x)=±π/3, ±2π/3 ですから、
|実部|と|虚部の平方根の中身|の比が 1:3 であることから、a=-2 。