質問<1686>2004/4/29
数列{a(n)}を、 a(1)=2、 a(n+1)=a(n)^2- a(n)+1(n=1,2,3,・・・)で与える. a(1),a(2),・・・a(n)の積をP(n)とおく. (1)すべての自然数nに対して、a(n)>0であることを示せ。 (2)a(n+1)=P(n)+1であることを示せ。 (3)S(n)=1/a(1)+・・・+1/a(n)とおく. S(1),S(2),S(3),S(4)を求めよ。 (4)S(n)をP(n)で表せ.
お便り2004/5/1
from=wakky
難儀しましたが、結局は数学的帰納法の問題でしょうか。 自信はないんですけど・・・ (1) a(1)=2>0 n=kのときa(k)>0が成り立つと仮定 条件より a(k+1)=a(k)^2-a(k)+1 ={a(k)-(1/2)}^2+3/4>0 よってn=k+1のときも成り立つ。 従って、すべてのnに対して a(n)>0 (2) n=1のとき a(2)=a(1)^2-a(1)+1=4-2+1=3 P(1)+1=a(1)+1=3 よってn=1のとき成り立つ。 n=kのときa(k+1)=P(k)+1が成り立つと仮定 a(k+2)=a(k+1)^2-a(k+1)+1 ={P(k)+1}^2-{P(k)+1}+1 =P(k)^2+P(k)+1 =P(k){P(k)+1}+1 =P(k)a(k+1)+1 (仮定より) =P(k+1)+1 よってn=k+1のときも成り立つ。 従ってすべてのnについて a(n+1)=P(n)+1 (3) a(1)=2,a(2)=3,a(3)=7,a(4)=43 これは地道に計算して S(1)=1/2 , S(2)=5/6 , S(3)=41/42 , S(4)=1805/1806 (4) S(n)の計算の際、通分すると、 分母はP(n)となることに着目して、(3)の結果から S(n)={P(n)-1}/P(n) と推察できる。 n=1のとき S(1)=1/a(1)=1/2 {P(1)-1}/P(1)={a(1)-1}/a(1)=1/2 よってn=1のとき成り立つ。 n=kのときS(k)={P(k)-1}/P(k) が成り立つと仮定。 S(k+1)=S(k)+1/a(k+1) ={P(k)-1}/P(k)+1/a(k+1) =[{P(k)-1}a(k+1)+P(k)]/{P(k)a(k+1)} =[P(k)a(k+1)-{P(k)+1}+P(k)]/P(k+1) ={P(k+1)-1}/P(k+1) よってn=k+1のときも成り立つ。 従ってすべてのnについて S(n)={P(n)-1}/P(n) が成り立つ。