質問＜１６８６＞２００４／４／２９
from=のらいぬ
「数列」

数列{a(ｎ)}を、
a(１)＝２、
a(ｎ＋１)＝a(ｎ)＾２－ a(ｎ)＋１（ｎ＝１，２，３，・・・）で与える．
a(１)，a(２)，・・・a(ｎ)の積をＰ(ｎ)とおく．
（１）すべての自然数ｎに対して、a(ｎ)＞０であることを示せ。
（２）a(ｎ＋１)＝Ｐ(ｎ)＋１であることを示せ。
（３）Ｓ(ｎ)＝１／a(１)＋・・・＋１／a(ｎ)とおく．
　　　Ｓ(１)，Ｓ(２)，Ｓ(３)，Ｓ(４)を求めよ。
（４）Ｓ(ｎ)をＰ(ｎ)で表せ．

お便り２００４／５／１
from=wakky

難儀しましたが、結局は数学的帰納法の問題でしょうか。
自信はないんですけど・・・

(1)
a(1)=2>0
n=kのときa(k)>0が成り立つと仮定
条件より
a(k+1)=a(k)^2-a(k)+1
      ={a(k)-(1/2)}^2+3/4>0
よってn=k+1のときも成り立つ。
従って、すべてのnに対して a(n)>0

(2)
n=1のとき
a(2)=a(1)^2-a(1)+1=4-2+1=3
P(1)+1=a(1)+1=3
よってn=1のとき成り立つ。
n=kのときa(k+1)=P(k)+1が成り立つと仮定
a(k+2)=a(k+1)^2-a(k+1)+1
      ={P(k)+1}^2-{P(k)+1}+1
      =P(k)^2+P(k)+1
      =P(k){P(k)+1}+1
      =P(k)a(k+1)+1 （仮定より）
      =P(k+1)+1
よってn=k+1のときも成り立つ。
従ってすべてのnについて a(n+1)=P(n)+1

(3)
a(1)=2,a(2)=3,a(3)=7,a(4)=43
これは地道に計算して
S(1)=1/2 , S(2)=5/6 , S(3)=41/42 , S(4)=1805/1806

(4)
S(n)の計算の際、通分すると、
分母はP(n)となることに着目して、(3)の結果から
S(n)={P(n)-1}/P(n) と推察できる。
n=1のとき S(1)=1/a(1)=1/2
          {P(1)-1}/P(1)={a(1)-1}/a(1)=1/2
よってn=1のとき成り立つ。
n=kのときS(k)={P(k)-1}/P(k) が成り立つと仮定。
S(k+1)=S(k)+1/a(k+1)
      ={P(k)-1}/P(k)+1/a(k+1)
      =[{P(k)-1}a(k+1)+P(k)]/{P(k)a(k+1)}
      =[P(k)a(k+1)-{P(k)+1}+P(k)]/P(k+1)
      ={P(k+1)-1}/P(k+1)
よってn=k+1のときも成り立つ。
従ってすべてのnについて
S(n)={P(n)-1}/P(n) が成り立つ。