質問

直交座標で表したとき
(ｒ，ｙ)＝（√３＋１，√３－１）となる点を
極座標（ｒ,θ）で表せ。
ただし、ａｒｃｃｏｓ，ａｒｃｓｉｎ，ａｒｃｔａｎなどの
逆三角関数の記号を使わないこと。

苦手な数学で考え込んでいます。宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００４／９／８
from=UnderBird

from UnderBird

>直交座標で表したとき
>(ｒ，ｙ)＝（√３＋１，√３－１）となる点を
上のｒはｘの誤りですね。

点A（ｘ、ｙ）＝（√３＋１，√３－１）と原点O（０，０）との距離がｒですから
OA＝ｒ＝√｛（√３＋１）＾2＋（√３－１）＾2｝＝２√２
線分OAとｘ軸の正の向きとのなす角をθとすると
sinθ＝（√３－１）／（２√２）＝（√６－√２）／４
これはθ＝１５°、弧度法ならπ／１２ですね。
実際、加法定理を用いて確かめてみると
sin１５°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30 °-cos45°sin30°
　　　　　＝（√２／２）×（√３／２）－（√２／２）×（１／２）
　　　　　＝（√６－√２）／４
となってますね。
以上から、（ｒ，θ）＝（２√２，π／１２）

お便り２００４／９／８
from=wakky

（ｒ，ｙ）というのは（ｘ，ｙ）という意味だと思います。

（解答）
まず（ｘ，ｙ）＝（√３＋１，√３－１）だから
（ｒ，θ）において、ｒは原点と（√３＋１，√３－１）を結ぶ線分の長さ
ということになりますね。
つまり
ｒ＝√｛（√３＋１）^2＋√３－１）^2｝
　＝√８＝２√２
次に
ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθですから
２√２ｃｏｓθ＝√３＋１
２√２ｓｉｎθ＝√３－１　より
ｃｏｓθ＝（√６＋√２）／４
ｓｉｎθ＝（√６－√２）／４
普通はこれでθが求められるんですが、これではわかりませんね。
それでちょっと工夫して
ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝√６／２だから
これを合成して
√２ｓｉｎ｛θ＋（π／４）｝＝√６／２
よって
ｓｉｎ｛θ＋（π／４）｝＝√３／２
題意から０ ＜ θ ＜ π／４
π／４　＜　θ＋（π／４）　＜　π／２　より
θ＋（π／４）＝π／３
よって
θ＝（π／３）－（π／４）＝π／１２（＝１５°）