質問＜２０５９＞２００４／１１／１３
from=たっちゃん
「ベクトル」

実数を成分とする2つのベクトルａ＝(a1,a2,a3)、ｂ＝(b1,b2,b3)に対し、
（a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1）によって定義されるベクトルを
ａ×ｂで表わす。
（１）ａ⊥ａ×ｂ、ｂ⊥ａ×ｂが成り立つことを示せ。
（２）Ｏを始点として、ａ＝ＯＡ→、ｂ＝ＯＢ→と表わすとき、
　　　ａ×ｂの長さは、ＯＡ，ＯＢを2辺とする平行四辺形の面積に等しい
　　　ことを示せ。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／２８
from=wakky

ベクトルの→は省略します。

（１）
とにかく計算すると
ａ・（ａ×ｂ）
＝a1a2b3－a1a3b2＋a2a3b1－a1a2b3＋a1a3b2－a2a3b1
＝０
内積が０ならば直交する。
よって
ａ⊥ａ×ｂ
同様にして
ｂ⊥ａ×ｂ

（２）
ａとｂのなす角θとして
平行四辺形の面積Ｓは
Ｓ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｓｉｎθ
ｃｏｓθ＝ａ・ｂ／｜ａ｜｜ｂ｜
途中省略して
Ｓ^2＝（｜ａ｜｜ｂ｜）^2－（ａ・ｂ）^2
＝(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)-(a1b1+a2b2+a3b3)^2
ａ×ｂの長さをＬとすると
Ｌ^2＝(a2b3-a3b2)^2+(a3b1-a1b3)^2+(a1b2-a2b1)^2
＝(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)-(a1b1+a2b2+a3b3)^2
よって
Ｌ^2＝Ｓ^2だから
Ｌ＝Ｓ