質問<2059>2004/11/13
実数を成分とする2つのベクトルa=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3)に対し、 (a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)によって定義されるベクトルを a×bで表わす。 (1)a⊥a×b、b⊥a×bが成り立つことを示せ。 (2)Oを始点として、a=OA→、b=OB→と表わすとき、 a×bの長さは、OA,OBを2辺とする平行四辺形の面積に等しい ことを示せ。 ★希望★完全解答★
お便り2004/12/28
from=wakky
ベクトルの→は省略します。 (1) とにかく計算すると a・(a×b) =a1a2b3-a1a3b2+a2a3b1-a1a2b3+a1a3b2-a2a3b1 =0 内積が0ならば直交する。 よって a⊥a×b 同様にして b⊥a×b (2) aとbのなす角θとして 平行四辺形の面積Sは S=|a||b|sinθ cosθ=a・b/|a||b| 途中省略して S^2=(|a||b|)^2-(a・b)^2 =(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)-(a1b1+a2b2+a3b3)^2 a×bの長さをLとすると L^2=(a2b3-a3b2)^2+(a3b1-a1b3)^2+(a1b2-a2b1)^2 =(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)-(a1b1+a2b2+a3b3)^2 よって L^2=S^2だから L=S