質問＜２１７４＞２００５／１／２４
次の問が分からないのでお願いします。 １．nを自然数とする時、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (1)1+1/2+1/3+1/4+・・・＋1/n>2n/(n+1) (n≧2) (2)n！>2^(n-1) (n≧3) (3)(1+h)^n>1+nh (h>0,n≧2) ★希望★完全解答★
お便り２００５／２／２
from=KINO
基本的に数学的帰納法を用います。
1.(1)
＜第1段＞
1+1/2 ＞ 1+1/3 = 4/3 = 2×2/(2+1) より，
n=2 のとき示すべき不等式が成り立つことがわかります。
＜第2段＞
2以上のある自然数 k に対し，
1+1/2+1/3+1/4+...+1/k ＞ 2k/(k+1)
が成り立ったと仮定します。この両辺に 1/(k+1) を加えると，
1+1/2+1/3+1/4+...+1/k+1/(k+1) ＞ (2k+1)/(k+1).
この右辺が 2(k+1)/(k+2) 以上であることを示せば，n=k+1 に対し
示すべき不等式が成り立つことになります。
それでは，
(2k+1)/(k+1)≧2(k+1)/(k+2)
であることを示しましょう。
(左辺)－(右辺)≧0 を証明します。通分して計算すると
(2k+1)/(k+1)-2(k+1)/(k+2) = {(2k+1)(k+2)-2(k+1)^2}/(k+1)(k+2)
= k/(k+1)(k+2)＞0.
これで，「ある k≧2 に対して不等式が成り立てば，必ず k+1 に対しても
不等式が成り立つ」ことが示されました。
初めに示したことにより，n=2 のとき不等式は成り立ちますから，今示した
ことから n=2+1=3 のときも成り立つことがわかります。
そうすると n=3+1=4 のときにも成り立ち，
このことからさらに n=4+1=5 のときも成り立つこともわかります。
このように考えると，2以上の全ての自然数 n に対して不等式が成り立つこと
がわかります。
これで証明できました。[証明終わり]
このような議論の仕方を，「数学的帰納法」といいます。
1.(2) n=3 のとき，3!=6 ＞ 4=2^2=2^(3-1) なので，n=3 のとき示すべき不等式
は成立する。
次に，ある自然数 k≧3 に対し，n=k とした不等式 k! ＞ 2^(k-1) が成り立つと
仮定する。
この両辺に k+1 をかけると，k+1≧4=2^2 であるから，
(k+1)! = (k+1)×k! ＞ (k+1)×2^(k-1) ＞ 2^2×2^(k-1)=2^(k+1)
＞ 2^k=2^{(k+1)-1}.
よって，このとき n=k+1 とおいた不等式 (k+1)! ＞ 2^k も成り立つ。
したがって，
数学的帰納法により全ての自然数 n≧3 に対し示すべき不等式が成立する。
[証明終わり]
1.(3) 2項定理を知っていれば，n≧2 のとき
(1+h)^n = 1+nh+...+h^n
であり，h>0 なので右辺の 1+nh より後の項はすべて正の数。ゆえに
1+nh+...+h^n ＞ 1+nh.
これらより，(1+h)^n ＞ 1+nh が成り立つことが示されます。
もちろん数学的帰納法でも出来ます。
n=2 については，(1+h)^2 = 1+2h+h^2 ＞ 1+2h より，成り立つ。
n=k≧2 で成り立つと仮定すると，(1+h)^k ＞ 1+kh.
この両辺に 1+h をかければ
(1+h)^(k+1) ＞ (1+h)(1+kh) = 1+(k+1)h+kh^2.
kh^2 ＞ 0 であるから，
1+(k+1)h+kh^2 ＞ 1+(k+1)h.
よって，(1+h)^(k+1) ＞ 1+(k+1)h，すなわち n=k+1 のときにも成り立つ。
ゆえに数学的帰納法により，
全ての自然数 n≧2 に対し示すべき不等式が成り立つことが証明された。
[証明終わり]