質問<2174>2005/1/24
次の問が分からないのでお願いします。 1.nを自然数とする時、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (1)1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n>2n/(n+1) (n≧2) (2)n!>2^(n-1) (n≧3) (3)(1+h)^n>1+nh (h>0,n≧2) ★希望★完全解答★
お便り2005/2/2
from=KINO
基本的に数学的帰納法を用います。 1.(1) <第1段> 1+1/2 > 1+1/3 = 4/3 = 2×2/(2+1) より, n=2 のとき示すべき不等式が成り立つことがわかります。 <第2段> 2以上のある自然数 k に対し, 1+1/2+1/3+1/4+...+1/k > 2k/(k+1) が成り立ったと仮定します。この両辺に 1/(k+1) を加えると, 1+1/2+1/3+1/4+...+1/k+1/(k+1) > (2k+1)/(k+1). この右辺が 2(k+1)/(k+2) 以上であることを示せば,n=k+1 に対し 示すべき不等式が成り立つことになります。 それでは, (2k+1)/(k+1)≧2(k+1)/(k+2) であることを示しましょう。 (左辺)-(右辺)≧0 を証明します。通分して計算すると (2k+1)/(k+1)-2(k+1)/(k+2) = {(2k+1)(k+2)-2(k+1)^2}/(k+1)(k+2) = k/(k+1)(k+2)>0. これで,「ある k≧2 に対して不等式が成り立てば,必ず k+1 に対しても 不等式が成り立つ」ことが示されました。 初めに示したことにより,n=2 のとき不等式は成り立ちますから,今示した ことから n=2+1=3 のときも成り立つことがわかります。 そうすると n=3+1=4 のときにも成り立ち, このことからさらに n=4+1=5 のときも成り立つこともわかります。 このように考えると,2以上の全ての自然数 n に対して不等式が成り立つこと がわかります。 これで証明できました。[証明終わり] このような議論の仕方を,「数学的帰納法」といいます。 1.(2) n=3 のとき,3!=6 > 4=2^2=2^(3-1) なので,n=3 のとき示すべき不等式 は成立する。 次に,ある自然数 k≧3 に対し,n=k とした不等式 k! > 2^(k-1) が成り立つと 仮定する。 この両辺に k+1 をかけると,k+1≧4=2^2 であるから, (k+1)! = (k+1)×k! > (k+1)×2^(k-1) > 2^2×2^(k-1)=2^(k+1) > 2^k=2^{(k+1)-1}. よって,このとき n=k+1 とおいた不等式 (k+1)! > 2^k も成り立つ。 したがって, 数学的帰納法により全ての自然数 n≧3 に対し示すべき不等式が成立する。 [証明終わり] 1.(3) 2項定理を知っていれば,n≧2 のとき (1+h)^n = 1+nh+...+h^n であり,h>0 なので右辺の 1+nh より後の項はすべて正の数。ゆえに 1+nh+...+h^n > 1+nh. これらより,(1+h)^n > 1+nh が成り立つことが示されます。 もちろん数学的帰納法でも出来ます。 n=2 については,(1+h)^2 = 1+2h+h^2 > 1+2h より,成り立つ。 n=k≧2 で成り立つと仮定すると,(1+h)^k > 1+kh. この両辺に 1+h をかければ (1+h)^(k+1) > (1+h)(1+kh) = 1+(k+1)h+kh^2. kh^2 > 0 であるから, 1+(k+1)h+kh^2 > 1+(k+1)h. よって,(1+h)^(k+1) > 1+(k+1)h,すなわち n=k+1 のときにも成り立つ。 ゆえに数学的帰納法により, 全ての自然数 n≧2 に対し示すべき不等式が成り立つことが証明された。 [証明終わり]