質問＜２１８＞２０００／１／２６
from=陣内
「幾何学」

表面積が一定である直方体のうちで、体積が最大なものは、
立方体であることを証明せよ。

高校３年生の陣内です。
先生、どうかよろしく、ご指導お願いいたします。

お返事２０００／１／２７
from=武田

表面積Ｓ＝２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ……①
体積Ｖ＝ａｂｃ……②
表面積が一定ｋ（＞０）だから、①を変形して、
２ａｂ＋２ｃ（ｂ＋ａ）＝ｋ
　　ｋ－２ａｂ
ｃ＝──────
　　２（ａ＋ｂ）
これを②に代入すると、
　　　　　ｋ－２ａｂ　　－２ａ2ｂ2＋ｋａｂ
Ｖ＝ａｂ・──────＝─────────
　　　　　２（ａ＋ｂ）　　２（ａ＋ｂ）
したがって、Ｖはａ，ｂの２変数関数だから、
極値をもつのは、偏導関数が、
∂Ｖ　　　　∂Ｖ
──＝０、　──＝０のときだから、
∂ａ　　　　∂ｂ
∂Ｖ　(-4ab2+kb)2(a+b)-(-2a2b2+kab)2
──＝────────────────
∂ａ　　　　4(a+b)2
　　　-8a2b2+2kab-8ab3+2kb2+4a2b2-2kab
　　＝────────────────
　　　　　4(a+b)2
　　　－４ａ2ｂ2－８ａｂ3＋２ｋｂ2
　　＝──────────────
　　　　　４（ａ＋ｂ）2
　　　　－２ｂ2
　　＝───────・（２ａ2＋４ａｂ－ｋ）
　　　４（ａ＋ｂ）2
∂Ｖ
──＝０とすると、
∂ａ
ａ＞０，ｂ＞０より、
２ａ2＋４ａｂ－ｋ＝０
２ａ2＋４ａｂ－｛２ａｂ＋２ｃ（ｂ＋ａ）｝＝０
２ａ2＋２ａｂ－２ｃ（ｂ＋ａ）＝０
２ａ（ａ＋ｂ）－２ｃ（ｂ＋ａ）＝０
２（ａ＋ｂ）（ａ－ｃ）＝０
ａ－ｃ＝０より、ａ＝ｃ……③
∂Ｖ
──＝０のときも同様にして、ｂ＝ｃ……④
∂ｂ
③④より、極値をもつのはａ＝ｂ＝ｃのときである。
したがって、立方体のときＶは最大となる。
（極値が極大になるのは……？）

（別解）
相加平均と相乗平均の関係を使う。
「いくつかの正数の和が一定のとき、それらの数の積が最大
になるのは各数が相等しいときである。また、いくつかの正
数の積が一定のとき、それらの数の和が最小になるのは各数
が相等しいときである。」より、
表面積Ｓ＝２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ＝ｋ（一定）より、
（ａｂ）＋（ｂｃ）＋（ｃａ）＝ｋ／２（一定）
各数は正数。
それらの積は
（ａｂ）・（ｂｃ）・（ｃａ）＝ａ2ｂ2ｃ2
　　　　　　　　　　　　　　＝（ａｂｃ）2
体積Ｖ＝ａｂｃが最大になるのは、（ａｂｃ）2が最大に
なることだから、
（ａｂ）＝（ｂｃ）＝（ｃａ）
∴ａ＝ｂ＝ｃ
立方体のとき体積Ｖは最大となる。

別解の方が易しいですね。