質問＜２２５＞２０００／２／５
from=水島愛
「三角関数」

こんにちは。ひさし振りです。元気ですか？？
今回の問題を教えてください。よろしく。

１、ABを直径とする半円周上に点Pをとるとき2AB＋BPの最大値
を求めよ。

２、tanシータ/２＝ｔとおくとき、つぎの証明せよ。
（１）sinシータ＝１－ｔ＾２/１＋ｔ＾２
（３）tanシータ＝２ｔ/１－ｔ＾２

３、次の関数の最大値、最小値および０＜＝ｘ＜２πのはんい
でその値をとるｘを求めよ。
（１）sinｘｓin（π/３－ｘ）
（２）cos２ｘ－４sinｘ

お返事２０００／２／５
from=武田

愛ちゃん久しぶりです。学校生活は充実していますか？
これからも時々質問して下さい。

問１
１、ABを直径とする半円周上に点Pをとるとき2AB＋BPの最大値
を求めよ。
問題は２ＡＢ＋ＢＰでなく、２ＡＰ＋ＢＰではないでしょうか？
さらに直径ＡＢの長さを１とするのでは？

∠ＢＡＰ＝θとすると、
ＡＰ＝ＡＢcosθ、ＢＰ＝ＡＢsinθ
（与式１）２ＡＢ＋ＢＰ＝２ＡＢ＋ＡＢsinθ
　　　　　　　　　　　＝ＡＢ（２＋sinθ）
図より、０≦θ≦９０°
０≦sinθ≦１
２≦２＋sinθ≦３
２ＡＢ≦２ＡＢ＋ＢＰ≦３ＡＢ
∴最大値３ＡＢ

（与式２）２ＡＰ＋ＢＰ＝２ＡＢcosθ＋ＡＢsinθ
　　　　　　　＝ＡＢ（２cosθ＋sinθ）
　　　　　　　＝ＡＢ√５（2/√5・cosθ＋1/√5・sinθ）
　　　　　　　＝ＡＢ√５sin（θ＋α）……三角関数の合成
　　　　　　　ただし、cosα＝1/√5、sinα＝2/√5
図より、０≦θ≦９０°
1/√5≦sin（θ＋α）≦１
１≦√５sin（θ＋α）≦√５
ＡＢ≦２ＡＰ＋ＢＰ≦√５ＡＢ
∴最大値√５ＡＢ

問２（１）
　　　　１－ｔ2　　　　　　　　　１－ｔ2
sinθ＝────ではなく、cosθ＝────の間違いでしょう。
　　　　１＋ｔ2　　　　　　　　　１＋ｔ2
次の２つの公式を利用する。
　　　　　　　１
１＋tan2θ＝───　……①
　　　　　　cos2θ

　　θ　１＋cosθ
cos2─＝────　……②
　　２　　　２

　 θ　　　　　　　　　　　　２
tan─　＝ｔより、１＋ｔ2＝────
　 ２　　　　　　　　　　１＋cosθ

　　　　　　　２
１＋cosθ＝────
　　　　　　１＋ｔ2

　　　　　２－（１＋ｔ2）
∴cosθ＝────────
　　　　　　　１＋ｔ2

　　　　　１－ｔ2
　　　　＝────　……（答）
　　　　　１＋ｔ2

問２（２）
次の公式を利用する。
　　　　　　２tanθ
tan２θ＝──────　……③
　　　　　１－tan2θ

　　　　　２tan（θ／２）　　　　２ｔ
tanθ＝──────────　＝────　……（答）
　　　　１－tan2（θ／２）　　　１－ｔ2

問３（１）
次の公式を利用する。
　　　　　　　　１
sinα・sinβ＝－─｛cos（α＋β）－cos（α－β）｝……④
　　　　　　　　２

　　　　　　π　　　　　１　　　　　 π　　　　　　　　 π
sinｘ・sin（─－ｘ）＝－─｛cos（ｘ＋─－ｘ）－cos（ｘ－─＋ｘ）｝
　　　　　　３　　　　　２　　　　　 ３　　　　　　　　 ３

　　　　　　　　　　　　１　　 π　　　　　　 π
　　　　　　　　　　＝－─｛cos─－cos（２ｘ－─）｝
　　　　　　　　　　　　２　　 ３　　　　　　 ３

　　　　　　　　　　　１　　　　　 π　　１
　　　　　　　　　　＝─cos（２ｘ－─）－─
　　　　　　　　　　　２　　　　　 ３　　４

cos（２ｘ－π／３）＝－１のとき、最小値－３／４
　　　∴ｘ＝２π／３
cos（２ｘ－π／３）＝１のとき、最大値１／４
　　　∴ｘ＝π／６

問３（２）
次の公式を利用する。
cos２θ＝１－２sin2θ　……⑤
cos２ｘ－４sinｘ＝１－２sin2ｘ－４sinｘ
　　　　　　　　＝－２（sin2ｘ＋２sinｘ）＋１
　　　　　　　　＝－２（sinｘ＋１）2＋３
sinｘ＝－１のとき、最大値３
　　　∴ｘ＝３π／２
sinｘ＝１のとき、最小値－５
　　　∴ｘ＝π／２


三角関数の公式を５つも利用するので、公式は覚えておかないと
難しいですね。