質問

分かりません…ヒントを下さい◎
y軸と平行な軸をもつ1つの放物線があり、
直線l:y=kx+k2+1（k2はkの2乗です）は
kがどんな値でもこの放物線に接している。

　1.この放物線の方程式を求めよ。
　2.kがすべての実数値をとるとき、直線lの通過する領域を求め、図示せよ。

お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／８
from=KINO

1.
2乗を表すのに ^2 という記号を使うことにします。
例えば k の2乗を k^2 と書きます。

「y軸と平行な軸をもつ放物線」とは要するに2次関数 y=ax^2+bx+c のことです。
ただし，x^2 の係数 a は 0 ではありません。
直線 l とこの放物線が接するということは，
y=ax^2+bx+c と y=kx+k^2+1 を連立させた方程式が解を一つだけ持つということです。
つまり，y を消去して得られる方程式
ax^2+(b-k)x+c-(k^2+1)=0
が重解を持つということです。
判別式が 0 になればいいので，
(b-k)^2-4a{c-(k^2+1)}=0.
つまり (4a+1)k^2-2bk+b^2-4a(c-1)=0.
これがどんな k の値に対しても成り立つには，
4a+1=0, -2b=0, b^2-4a(c-1)=0
でなければなりません。
これを解くと，まず a=-1/4, b=0 で，これより c=1 となります。
よって放物線の方程式は
y=-x^2/4+1 だとわかりました。

2.
たとえば直線 x=1 と l の交点の y 座標は，
x=1 を代入した式 y=k+k^2+1
で与えられますが，
y=(k+1/2)^2+3/4 なので，k=-1/2 で最小値 3/4 をとり，k がすべての実数を動く
とき，それ以上の値を全てとります。
よって，l の通過する領域は x=1 の直線のうち，y≧3/4 の部分を含みます。
このように考えると，m を任意の実数とし，直線 x=m のうち通過する領域に
含まれる部分がどうなっているかを求めれば，通過する範囲がわかることになります。
x=m を l の方程式に代入すると
y=km+k^2+1=(k+m/2)^2+1-m^2/4.
つまり y 座標は k=-m/2 で最小値 1-m^2/4 をとり，k が全ての実数を動くときに
 y 座標はこれ以上の値を全て取ります。
m がすべての実数を動くとき，点 (m,1-m^2/4) は
x=m, y=1-m^2/4 とおくと y=1-x^2/4 という放物線上にあることがわかります。
上の考察から l が通過する範囲はこの放物線の上側だとわかります。
（実はこの放物線はちょうど 1. で求めた放物線と同じです。）
よって求める領域は，放物線 y=-x^2/4+1 の上側全部で，放物線上の点を含みます。