質問＜２２７９＞２００５／４／７
from=さくら
「三角比」

①1辺の長さが1の正三角形ABCがある。辺BCの中点Mを中心とする半径rの円が
辺ABおよび辺ACと共有点をもつとき、ABとの共有点のうち頂点Aに近い方の点
をDとし、ACとの共有点のうち頂点Aに近い方の点をEとする。
(1)ADの長さが3/4であるとき、rの値を求めよ。
(2)ADの長さをxとおくとき、rの2乗をXの式で表せ。
(3)∠DME=θとおくとき、cosθ=1/3となるrの値を求めよ。

②中心Oの円周上に異なる2点A,Bをとり、弧ABを3等分する点を、Aに近い方から
C,Dとする。また、弦ABとOC、ODの好転をそれぞれP,Qとする。このとき、
AP＞PQであることを示せ。ただし、弧ABに対する中心角∠AOB＜180°とする。

③△ABCは円Oに内接し、AB=AC=4、BC=3とする。頂点Aを通らない弧BC上を点Pが
動く。
(1)BPとCPはxについての2次方程式xの2乗－2xAPcosB＋APの2乗－16=0の解である
　ことを示せ。
(2)BP＋CPの最大値を求めよ。

④tanθ＋9/tanθ(0°＜θ＜90°)の最小値を求めよ。

⑤0°＜α＜180°、0°＜β＜180°とする。
　sinα=2cosβ
　sinβ=2cosα
以上が成り立つとき、sinαとcosαを求めよ。
また、α=βとなることを示せ。

⑥rを正の実数とする。点Oを中心とする半径1の円Cと、点Rを中心とする半径rの
円Dが、外接し、ともに直線ｙにも接している。円Cと直線yの接点をA、円Dと
直線yの接点をBとする。また、円CのAを通る直径とCとのA以外の交点をPとし、
Pから円Dへ引いた接線の接点をQとする。(接線は2本引けるが、線分PQが線分OR
と交わらない方を取る)
(1)∠POR=θとするとき、sinθとcosθをrの式で表せ。
(2）線分PQの長さを求めよ。

⑦△ABCの3辺の長さをa=BC、b=CA,c=ABとする。
(1)△ABCの頂点Aから直線BCにおろした垂線の足をHとするとき、線分CHの長さを
　a,b,cを用いて表せ。
(2)△ABCの辺BC上にCと異なる点Dをとる。s=BD、t=DC、α=∠BAD、β=∠DACとおく
　とき、sinα/sinβをb,c,s,tを用いて表せ。
(3)△ABCの辺BC上の中点をMとし、辺BC上に∠BAM=∠EACとなる点Eをとる。線分CE
　の長さをa,b,cを用いて表せ。

⑧BC=a、AB=AC=bである二等辺三角形ABCを考える。三角形ABCの内分または辺上の
　点Pで、PA≦PBとPA≦PCを同時に満たすもの全体からなる集合をDとする。Dの面積
　をa,bを用いて表せ。

⑨△ABCにおいて、AB=5、BC=2√3、CA=4+√3とする。Bを通りCAに平行な直線と
　外接円Oとの交点のうち、Bと異なる方をDとする。このとき、CD、BD、台形ADBC
　の面積を求めよ。

⑩円に内接する三角形ABCにおいて、AB=10、BC=6、∠B=120°とする。また、弧AC上
に点Pをとる。
(1)四角形ABCPの面積の最大値を求めよ。また、そのときのsin∠BAPの値を求めよ。

⑪mは正の数とする。三角形ABCにおいて、AB=4、AC=m+1、BC=m+3とし、三角形ABCの
外接円の半径をR、三角形ABCの内接円の半径をrとする。
(1)r=√2となるようなmの値を求めよ。
(2)R/r=8/3となるようなmの値を求めよ。

⑫△ABCの頂点A,B,Cの対辺をそれぞれa,b,cとする。A=60°、b=√3+1、c=√2のとき、
(c/a+b)＋(b/a＋c)の値を求めよ。

問題が大量で申し訳ありませんが、宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／９
from=wakky

これじゃあまりにも多すぎます。
宿題の丸投げのようにも思えてしまう・・・
もう少し整理してから質問した方がいいのでは？

お便り２００５／４／１１
from=さくら

申し訳ありませんでした
4/7に、三角比で質問をさせていただいたさくらです。
一度に大量の質問をしてしまい、申し訳ありませんでした。
私は本来なら現在高２ですが、ある事情があって高校には
行っていません。

Yahooで検索をし、先生のホームページを知り、よくルール
も知らずに多くの質問をしてしまいました。
ご迷惑をおかけしました。
アドバイス、ありがとうございました。