質問<236>2000/3/18
数列{An}において次の関係がある時、第n項をnの式で表せ (1)A1=1、An+1 - An=3n (2)A1=1、An+1=An+3n -1 数列{An}の一般項を求めよ (1)An=1、An+1=-2An+1 (2)A1=1、2An+1 - An+2=0
お返事2000/3/20
from=武田
この問題は「線形1階差分方程式」を解く問題です。 解き方は2つあります。1つは芋づる式に展開して一般項を 求めるやり方です。2つ目は、差分方程式の公式化したやり 方です。別々に解いてみます。 問1 (1)A1=1、An+1 - An=3n (2)A1=1、An+1=An+3n-1 こちらは(An+1-An)型です。等差数列の和に関係します。 <芋づる式のやり方> (1)An+1-An=3nを変形して、 An+1=An+3n ={An-1+3(n-1)}+3n =……………… =A1+3(1+2+……+n) n(n+1) =1+3・────── 2 したがって、 (n-1)n 3n2-3n+2 An=1+3・───────=──────── ……(答) 2 2 (2)An+1=An+3n-1 ={An-1+3(n-1)-1}+3n-1 =……………… =A1+3(1+2+……+n)-1・n n(n+1) =1+3・──────-n 2 したがって、 (n-1)n An=1+3・───────-(n-1) 2 2+3n2-3n-2n+2 =───────────── 2 3n2-5n+4 =──────── ……(答) 2 <差分方程式の公式を利用したやり方> (1)等差数列の和に関係しているので、 2次式Bn=an2+bnとおく。 Bn+1-Bn=a(n+1)2+b(n+1)-an2-bn =2an+(a+b) An+1-An=3nより、係数を比べて、 2a=3 a+b=0 したがって、a=3/2、b=-3/2 3 3 Bn=──・n2-──・n 2 2 3n(n-1) =─────── 2 等差数列の和に関連しているときは、一般項はAn=C+Bn(公式)となる。 3n(n-1) An=C+──────── 2 A1=1より、C=1したがって、 3n(n-1) 3n2-3n+2 An=1+────────=──────── ……(答) 2 2 (2)略 問2 (1)An=1、An+1=-2An+1 (2)A1=1、2An+1 - An+2=0 こちらは(An+1-pAn)型です。等比数列の和に関係します。 <芋づる式のやり方> (1)An+1=-2An+1 =-2(-2An-1+1)+1 =-2{-2(-2An-2+1)+1}+1 =…………………… =(-2)nA1+(-2)n-1+(-2)n-2+……+(-2)+1 1-(-2)n+1 =─────── 1-(-2) 1-(-2)n An=─────── ……(答) 3 (2)2An+1-An+2=0を変形して、 1 An+1=──An-1 2 1 1 =─(─An-1-1)-1 2 2 =……………… 1 1 1 1 =(─)nA1-(─)n-1-(─)n-2-……-─-1 2 2 2 2 1 1-(─)n 1 2 =(─)n-────── 2 1 1-─ 2 1 1 =(─)n-2+2(─)n 2 2 1 =3(─)n-2 2 したがって、 1 An =3(─)n-1-2 2 1 =6(─)n-2 ……(答) 2 <差分方程式の公式を利用したやり方> (1)An+1=-2An+1を変形して、 An+1+2An=1 (An+1-pAn)型なので、等比数列の和に関係しているので、 2次式Bn=an+bとおく。 Bn+1+2Bn=a(n+1)+b+2an+2b =3an+(a+3b) An+1+2An=1より、係数を比べて、 3a=0 a+3b=1 したがって、a=0、b=1/3 1 Bn=── 3 等比数列の和に関連しているときは、一般項はAn=Cpn+Bn(公式)となる。 1 An=C(-2)n+─ 3 1 A1=1より、C(-2)+─=1 3 1 C=-─ 3 したがって、 1 1 1-(-2)n An=-──(-2)n+─=────── ……(答) 3 3 3 (2)略 いかがでしょうか。慣れてくると、公式もやりやすいです。