質問＜２３６＞２０００／３／１８
from=だいすけ
「数列」

数列｛An}において次の関係がある時、第ｎ項をｎの式で表せ
（１）A1＝１、An+1 - An=3n
（２）A1=1、An+1=An+3n -1

数列｛An｝の一般項を求めよ
（１）An=1、An+1=-2An+1
（２）A1=1、2An+1 - An+2=0

お返事２０００／３／２０
from=武田

この問題は「線形１階差分方程式」を解く問題です。
解き方は２つあります。１つは芋づる式に展開して一般項を
求めるやり方です。２つ目は、差分方程式の公式化したやり
方です。別々に解いてみます。
問１
（１）A1＝１、An+1 - An=3n
（２）A1=1、An+1=An+3n－１
こちらは（Ａn+1－Ａn）型です。等差数列の和に関係します。
＜芋づる式のやり方＞
（１）Ａn+1－Ａn＝３ｎを変形して、
　　　Ａn+1＝Ａn＋３ｎ
　　　　　　＝｛Ａn-1＋３(n-1)｝＋３ｎ
　　　　　　＝………………
　　　　　　＝Ａ1＋３（１＋２＋……＋ｎ）
　　　　　　　　　　　ｎ（ｎ＋１）
　　　　　　＝１＋３・──────
　　　　　　　　　　　　　２
したがって、
　　　　　　　　　　（ｎ－１）ｎ　　３ｎ2－３ｎ＋２
　　　Ａn＝１＋３・───────＝────────　……（答）
　　　　　　　　　　　　　２　　　　　　　２

（２）Ａn+1＝Ａn＋３ｎ－１
　　　　　　＝｛Ａn-1＋３(n-1)－１｝＋３ｎ－１
　　　　　　＝………………
　　　　　　＝Ａ1＋３（１＋２＋……＋ｎ）－１・ｎ
　　　　　　　　　　　ｎ（ｎ＋１）
　　　　　　＝１＋３・──────－ｎ
　　　　　　　　　　　　　２
したがって、
　　　　　　　　　　（ｎ－１）ｎ
　　　Ａn＝１＋３・───────－（ｎ－１）
　　　　　　　　　　　　　２

　　　　　　２＋３ｎ2－３ｎ－２ｎ＋２
　　　　　＝─────────────
　　　　　　　　　　　２

　　　　　　３ｎ2－５ｎ＋４
　　　　　＝────────　……（答）
　　　　　　　　　２

＜差分方程式の公式を利用したやり方＞
（１）等差数列の和に関係しているので、
　　　２次式Ｂn＝ａｎ2＋ｂｎとおく。
　　　Ｂn+1－Ｂn＝ａ（ｎ＋１）2＋ｂ（ｎ＋１）－ａｎ2－ｂｎ
　　　　　　　　＝２ａｎ＋（ａ＋ｂ）
　　　Ａn+1－Ａn＝３ｎより、係数を比べて、
　　　　　　　　　２ａ＝３
　　　　　　　　　ａ＋ｂ＝０
　　　　　　　　　したがって、ａ＝３／２、ｂ＝－３／２
　　　　　　３　　　　 ３
　　　Ｂn＝──・ｎ2－──・ｎ
　　　　　　２　　　　 ２

　　　　　　３ｎ（ｎ－１）
　　　　　＝───────
　　　　　　　　　２
等差数列の和に関連しているときは、一般項はＡn＝Ｃ＋Ｂn（公式）となる。
　　　　　　　　３ｎ（ｎ－１）
　　　Ａn＝Ｃ＋────────
　　　　　　　　　　２
　　　Ａ1＝１より、Ｃ＝１したがって、
　　　　　　　　３ｎ（ｎ－１）　　３ｎ2－３ｎ＋２
　　　Ａn＝１＋────────＝────────　……（答）
　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　２

（２）略

問２
（１）An=1、An+1=-2An+1
（２）A1=1、2An+1 - An+2=0
こちらは（Ａn+1－ｐＡn）型です。等比数列の和に関係します。
＜芋づる式のやり方＞
（１）Ａn+1＝－２Ａn＋１
　　　　　　＝－２（－２Ａn-1＋１）＋１
　　　　　　＝－２｛－２（－２Ａn-2＋１）＋１｝＋１
　　　　　　＝……………………
　　　　　　＝（－２）nＡ1＋（－２）n-1＋（－２）n-2＋……＋（－２）＋１
　　　　　　　１－（－２）n+1
　　　　　　＝───────
　　　　　　　１－（－２）

　　　　　　１－（－２）n
　　　Ａn＝───────　……（答）
　　　　　　　　３

（２）２Ａn+1－Ａn＋２＝０を変形して、
　　　　　　　１
　　　Ａn+1＝──Ａn－１
　　　　　　　２

　　　　　　　１　１
　　　　　　＝─（─Ａn-1－１）－１
　　　　　　　２　２
　　　　　　＝………………
　　　　　　　　１　　　　　１　　　　１　　　　　　１
　　　　　　＝（─）nＡ1－（─）n-1－（─）n-2－……－─－１
　　　　　　　　２　　　　　２　　　　２　　　　　　２
　　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　　　１－（─）n
　　　　　　　　１　　　　　　２
　　　　　　＝（─）n－──────
　　　　　　　　２　　　　　１
　　　　　　　　　　　　１－─
　　　　　　　　　　　　　　２
　　　　　　　　１　　　　　　 １
　　　　　　＝（─）n－２＋２（─）n
　　　　　　　　２　　　　　　 ２
　　　　　　　　　１
　　　　　　＝３（─）n－２
　　　　　　　　　２
したがって、
　　　　　　　　　１
　　　　Ａn ＝３（─）n-1－２
　　　　　　　　　２
　　　　　　　　　１
　　　　　　＝６（─）n－２　……（答）
　　　　　　　　　２

＜差分方程式の公式を利用したやり方＞
（１）Ａn+1＝－２Ａn＋１を変形して、
　　　Ａn+1＋２Ａn＝１
（Ａn+1－ｐＡn）型なので、等比数列の和に関係しているので、
　　　２次式Ｂn＝ａｎ＋ｂとおく。
　　　Ｂn+1＋２Ｂn＝ａ（ｎ＋１）＋ｂ＋２ａｎ＋２ｂ
　　　　　　　　＝３ａｎ＋（ａ＋３ｂ）
　　　Ａn+1＋２Ａn＝１より、係数を比べて、
　　　　　　　　　３ａ＝０
　　　　　　　　　ａ＋３ｂ＝１
　　　　　　　　　したがって、ａ＝０、ｂ＝１／３
　　　　　　１
　　　Ｂn＝──
　　　　　　３
等比数列の和に関連しているときは、一般項はＡn＝Ｃｐn＋Ｂn（公式）となる。
　　　　　　　　　　　　１
　　　Ａn＝Ｃ（－２）n＋─
　　　　　　　　　　　　３
　　　　　　　　　　　　　　　 １
　　　Ａ1＝１より、Ｃ（－２）＋─＝１
　　　　　　　　　　　　　　　 ３
　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　Ｃ＝－─
　　　　　　　　　　　　３
したがって、
　　　　　　　１　　　　　　１　１－（－２）n
　　　Ａn＝－──（－２）n＋─＝──────　……（答）
　　　　　　　３　　　　　　３　　　３

（２）略

いかがでしょうか。慣れてくると、公式もやりやすいです。