質問＜２４８＞２０００／４／４
from=だいすけ
「三角形・sin,cos」

問１　ΔABCにおいて、a=x+2,b=x+3,c=x+4とする。
　　(1)a,b,c,が三角形３辺の長さとなるためのxの値の範囲を求めよ。
　　(2)a,b,c,が鈍角三角形となるためのxの値の範囲を求めよ。

問２　一直線に並ぶ水平面上の３点A,B,Cから山頂 P の迎角を測ると、
　　それぞれ３０°、６０°、４５°であった。
　　AB=200m、BC=100mであるとき山の高さを求めよ。

問３　ΔABCにおいて、次の等式が成り立つとき、この三角形は、それ
　　ぞれどのような三角形か。
　　(1)asinA+bsinB=csinC
　　(2)b=2acosC
　　(3)bcosA+acosB=b

お返事２０００／４／６
from=武田

問１

（１）ａ＋ｂ＞ｃより、
　　　（ｘ＋２）＋（ｘ＋３）＞ｘ＋４
　　　２ｘ＋５＞ｘ＋４
　　　∴ｘ＞－１……（答）
（２）∠Ｃが最大なので、ここが鈍角となる。
　　　余弦定理を利用して、
　　　　　　　ａ2＋ｂ2－ｃ2
　　　cosＣ＝────────
　　　　　　　　　２ａｂ
　　　９０°＜∠Ｃ＜１８０°より、
　　　－１＜cosＣ＜０
　　　　　　ａ2＋ｂ2－ｃ2
　　　－１＜────────＜０
　　　　　　　　２ａｂ
　　　－２ａｂ＜ａ2＋ｂ2－ｃ2＜０
　　　したがって、
　　　｛－２ａｂ＜ａ2＋ｂ2－ｃ2……①
　　　｛ａ2＋ｂ2－ｃ2＜０……②
　　　①より、ｃ2＜（ａ＋ｂ）2
　　　　　　　ｃ＞０より、ｃ＜ａ＋ｂ∴ｘ＞－１……③
　　　②より、ａ2＋ｂ2＜ｃ2
　　　　　　　（ｘ＋２）2＋（ｘ＋３）2＜（ｘ＋４）2
　　　　　　　ｘ2＋２ｘ－３＜０
　　　　　　　（ｘ＋３）（ｘ－１）＜０
　　　　　　　∴－３＜ｘ＜１……④
　　　③④より、

∴－１＜ｘ＜１……（答）

問２

山の高さＰＨ＝ｘとおくと、
△ＰＡＨより、ＰＡ＝２ｘ
　　　　　　　　　　２ｘ
△ＰＢＨより、ＰＢ＝───
　　　　　　　　　　√３
△ＰＣＨより、ＰＣ＝√２ｘ
スチュワート(1717-1785)の定理

ｂｌ2＋ａｎ2
───────＝ｍ2＋ａｂ
　　ａ＋ｂ
にあてはめると、
１００・４ｘ2＋２００・２ｘ2　　４ｘ2
───────────────＝───＋２００・１００
　　　２００＋１００　　　　　　３
８００ｘ2　　４ｘ2
─────＝───＋２００００
　３００　　　３
８００ｘ2＝４００ｘ2＋６００００００
４００ｘ2＝６００００００
ｘ2＝１５０００
∴ｘ＝５０√６≒１２２ｍ……（答）

問３

（１）ａsinＡ＋ｂsinＢ＝ｃsinＣ
　　　正弦定理
　　　　ａ　　　ｂ　　　ｃ
　　　───＝───＝───＝２Ｒより、
　　　sinＡ　　sinＢ　sinＣ
　　　　　　　　ａ　　　　　　ｂ　　　　　　ｃ
　　　sinＡ＝───、sinＢ＝──、sinＣ＝───を与式に代入して、
　　　　　　　２Ｒ　　　　　２Ｒ　　　　　２Ｒ
　　　　ａ2　　ｂ2　　ｃ2
　　　───＋───＝───
　　　２Ｒ　　２Ｒ　　２Ｒ
　　　ａ2＋ｂ2＝ｃ2
　　　∴∠Ｃが直角となる直角三角形……（答）

（２）ｂ＝２ａcosＣ
　　　第２余弦定理その２
　　　　　　　ａ2＋ｂ2－ｃ2
　　　cosＣ＝────────　より、
　　　　　　　　２ａｂ
　　　　　ａ2＋ｂ2－ｃ2
　　　ｂ＝──────────
　　　　　　　　　ｂ
　　　ｂ2＝ａ2＋ｂ2－ｃ2
　　　ａ2－ｃ2＝０
　　　ａ2＝ｃ2
　　　∴ａ＝ｃとなる二等辺三角形……（答）

（３）ｂcosＡ＋ａcosＢ＝ｂ
　　　第１余弦定理
　　　ｂcosＡ＋ａcosＢ＝ｃ　より、
　　　ｃ＝ｂ
　　　∴ｂ＝ｃとなる二等辺三角形……（答）