質問＜２５９７＞２００５／９／２５
from=ＴＳＵＫＡＳＡ
「三角比と図形」

△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝５、ＢＣ＝２√３、
ＣＡ＝４+√３とする。
このとき、ｃｏｓＡ＝［　］である。

△ＡＢＣの面積は、［　］であり、△ＡＢＣの外接円Ｏの半径は、［　］である。

Ｂを通りＣＡに平行な直線と円Ｏとの交点のうち、Ｂと異なる方をＤとする。
このとき、ＣＤ＝［　］、ＢＤ＝［　］であり、台形ＡＤＢＣの面積は［　］である。

［　］を求めなさい。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１０／２
from=wakky

△ＡＢＣにおいて余弦定理を利用して
ｃｏｓＡ＝４／５
これよりｓｉｎＡ＝３／５だから
△ＡＢＣの面積は
（１／２）ＡＢ・ＣＡ・ｓｉｎＡ＝６＋（３√３／２）
外接円の半径は△ＡＢＣにおいて正弦定理から
ＢＣ／ｓｉｎＡ＝２Ｒ（Ｒは外接円の半径）
よって
Ｒ＝５√３／３
ＡＢ＞ＢＣだから点Ｄは辺ＡＢに関して点Ｃの反対側にある。
また、四角形ＡＤＢＣは等脚台形で、ＡＤ＝２√３
（∠ＣＡＢ＝∠ＡＢＤ（錯角）で、正弦定理からＡＤ＝２√３であることが分かる）
ｃｏｓ∠ＡＢＤ＝４／５だから
△ＡＤＢにおいて余弦定理から
ＡＤ^2＝ＢＤ^2＋ＡＢ^2－２ＢＤ・ＡＢ・ｃｏｓ∠ＡＢＤ
∴ＢＤ＝４±√３
ＡＢの長さは外接円の直径より短いからＤＢ＜ＡＣ
（円に内接する長方形の対角線の長さ＝外接円の直径）
∴ＢＤ＝４－√３
∠ＢＤＣ＝∠ＣＡＢ（円周角）よりｃｏｓ∠ＢＤＣ＝４／５
△ＤＢＣにおいて余弦定理から
ＢＣ^2＝ＣＤ^2+ＢＤ^2－２ＣＤ・ＢＤ・ｃｏｓ∠ＢＤＣ
これを解いて
（因数分解はたすきがけで、できます）
ＣＤ＝５または７－８√３
ＣＤ＞０よりＣＤ＝５
ここまでできれば
台形の面積は
△ＡＢＣの面積が既知なので
△ＡＢＤの面積を求めるだけです。
もうこれはできると思います。