質問＜２７６２＞２００５／１２／１２
from=ノッチ
「差分方程式」

差分方程式　f(n+2)+f(n+1)-12f(n)=20について、答えよ。

(1)f(n)=c(cはnに依らない定数)が1つの特殊解としてcをもとめよ。
(2)一般解を求めよ。
(3)初期条件f(0)=1,f(1)=2を満たす解を求めよ。

★希望★答え希望★

お返事２００５／１２／２３
from=武田

（１）
ｆ（ｎ）＝ｃとするとき、
ｃ＋ｃ－１２ｃ＝２０
∴ｃ＝－２　……（答）

（２）
ｆ（ｎ＋２）＋ｆ（ｎ＋１）－１２ｆ（ｎ）＝０として、
ｆ（ｎ）＝ρ^n　とおくと
ρ^(n+2)＋ρ^(n+1)－１２ρ^n＝０
ρ^n（ρ^2＋ρ－１２）＝０
ρ^n＞０より、ρ^2＋ρ－１２＝０（特性方程式という。＜２７８＞参照）
（ρ＋４）（ρ－３）＝０
∴ρ＝－４，３
したがって、
ｆ（ｎ）＝Ｃ1（－４）^n＋Ｃ2（３）^n　－２　……（答）

（３）
ｆ（０）＝１より、Ｃ1＋Ｃ2　－２＝１　　　………①
ｆ（１）＝２より、－４Ｃ1＋３Ｃ2　－２＝２………②
①×３－②
　　　３Ｃ1＋３Ｃ2　＝９
－）－４Ｃ1＋３Ｃ2　＝４
――――――――――――
　　　７Ｃ1　　　　＝５

　　　　５
∴Ｃ1＝――　………③
　　　　７

③を①に代入して、
５　　　　　　　　　　１６
―＋Ｃ2＝３　　∴Ｃ2＝――
７　　　　　　　　　　　７

したがって、
　　　　　５　　　　　　　１６
ｆ（ｎ）＝―（－４）^n　＋――（３）^n　－２　……（答）
　　　　　７　　　　　　　　７