質問<2762>2005/12/12
差分方程式 f(n+2)+f(n+1)-12f(n)=20について、答えよ。 (1)f(n)=c(cはnに依らない定数)が1つの特殊解としてcをもとめよ。 (2)一般解を求めよ。 (3)初期条件f(0)=1,f(1)=2を満たす解を求めよ。 ★希望★答え希望★
お返事2005/12/23
from=武田
(1) f(n)=cとするとき、 c+c-12c=20 ∴c=-2 ……(答) (2) f(n+2)+f(n+1)-12f(n)=0として、 f(n)=ρ^n とおくと ρ^(n+2)+ρ^(n+1)-12ρ^n=0 ρ^n(ρ^2+ρ-12)=0 ρ^n>0より、ρ^2+ρ-12=0(特性方程式という。<278>参照) (ρ+4)(ρ-3)=0 ∴ρ=-4,3 したがって、 f(n)=C1(-4)^n+C2(3)^n -2 ……(答) (3) f(0)=1より、C1+C2 -2=1 ………① f(1)=2より、-4C1+3C2 -2=2………② ①×3-② 3C1+3C2 =9 -)-4C1+3C2 =4 ―――――――――――― 7C1 =5 5 ∴C1=―― ………③ 7 ③を①に代入して、 5 16 ―+C2=3 ∴C2=―― 7 7 したがって、 5 16 f(n)=―(-4)^n +――(3)^n -2 ……(答) 7 7