質問＜２７８＞２０００／６／２５
from=muu
「特性方程式」

はじめまして。
数列の漸化式で使う特性方程式がよくわからなくて困っています。
A n+1　と　An　がどうして同じ文字で置き換えることができるの
でしょうか？
よろしくお願いします。

お返事２０００／６／２５
from=武田

大学の数列の内容でしょうか。私も若干数列には興味があって、１５～
６年前に高橋健人著「差分方程式」（培風館・新数学シリーズ２０）を
購入し勉強したことがあります。
早速特性方程式を調べてみました。
なお、ｎ＝０，１，２，３……とする。
Ａ（ｎ＋１）－Ａ（ｎ）＝ｂ……等差数列Ａ（ｎ）＝Ｃ＋ｂｎ
Ａ（ｎ＋１）－ａ・Ａ（ｎ）＝０……等比数列Ａ（ｎ）＝Ｃａn
Ａ（ｎ＋１）－ａ・Ａ（ｎ）＝ｂ……線形１階差分方程式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂ
　　　　　　　　　　　　Ａ（ｎ）＝Ｃａn＋────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１－ａ
Ａ（ｎ＋１）－ａ・Ａ（ｎ）＝Ｂ（ｎ）……線形１階差分方程式
　　　　　　　　　　　　Ａ（ｎ）＝Ｃａn＋Ｕ*（ｎ）
　　　　　　　　　　　　ただし、Ｕ*（ｎ）は未定係数法で求める。
以上のように差分方程式は結構難しい。
この上を行く線形２階差分方程式は、質問の特性方程式を使って解くことになる。
Ａ（ｎ＋２）＋ａ・Ａ（ｎ＋１）＋ｂ・Ａ（ｎ）＝０
Ａ（ｎ）＝ρn とおくと、
ρn+2＋ａ・ρn+1＋ｂ・ρn＝０
ρn（ρ2 ＋ａρ＋ｂ）＝０
因数分解の右側の式（特性方程式という）ρ2 ＋ａρ＋ｂ＝０を解いて、
解の公式より、
　　－ａ±√（ａ2 －４ｂ）
ρ＝────────────
　　　　　２
これをρ1 、ρ2 とすると、
ρ1 ≠ρ2 ならば、Ａ（ｎ）＝Ｃ1 ρ1 n ＋Ｃ2 ρ2 n 
ρ1 ＝ρ2 ならば、Ａ（ｎ）＝（Ｃ1 ＋Ｃ2 ｎ）ρ1 n 
となる。
これを使ってフィボナッチ数列を解いてみよう。
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，……
Ａ（ｎ＋２）＝Ａ（ｎ＋１）＋Ａ（ｎ），Ａ（１）＝１，Ａ（２）＝１
Ａ（ｎ＋２）－Ａ（ｎ＋１）－Ａ（ｎ）＝０より、
ａ＝－１，ｂ＝－１
特性方程式ρ2 －ρ－１＝０を解くと、
　　１±√（１＋４）　１±√５
ρ＝────────＝────
　　　　　２　　　　　　　２
ρ1 ≠ρ2 より、
　　　　　　　　　１＋√５　　　　　　　１－√５
Ａ（ｎ）＝Ｃ1 （　────　）n ＋Ｃ2 （　────　）n 
　　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　２
初期条件Ａ（１）＝１，Ａ（２）＝１より、
Ｃ1 ＋Ｃ2 　√５（Ｃ1 －Ｃ2 ）
─────＋────────＝１
　　２　　　　　　　２
（Ｃ1 ＋Ｃ2 ）＋√５（Ｃ1 －Ｃ2 ）＝２……①
３（Ｃ1 ＋Ｃ2 ）　√５（Ｃ1 －Ｃ2 ）
───────＋──────────＝１
　　　２　　　　　　　　２
３（Ｃ1 ＋Ｃ2 ）＋√５（Ｃ1 －Ｃ2 ）＝２……②
②－①より、２（Ｃ1 ＋Ｃ2 ）＝０
Ｃ1 ＋Ｃ2 ＝０……③
①×３－②より、２√５（Ｃ1 －Ｃ2 ）＝４
Ｃ1 －Ｃ2 ＝２／√５……④
③＋④より、
２Ｃ1 ＝２／√５
∴Ｃ1 ＝１／√５
③より、
∴Ｃ2 ＝－１／√５
したがって、
　　　　　　１　　１＋√５　　　　　１　　１－√５
Ａ（ｎ）＝──（　────　）n －──（　────　）n ……（答）
　　　　　√５　　　　２　　　　　√５　　　　２