質問<278>2000/6/25
はじめまして。 数列の漸化式で使う特性方程式がよくわからなくて困っています。 A n+1 と An がどうして同じ文字で置き換えることができるの でしょうか? よろしくお願いします。
お返事2000/6/25
from=武田
大学の数列の内容でしょうか。私も若干数列には興味があって、15~ 6年前に高橋健人著「差分方程式」(培風館・新数学シリーズ20)を 購入し勉強したことがあります。 早速特性方程式を調べてみました。 なお、n=0,1,2,3……とする。 A(n+1)-A(n)=b……等差数列A(n)=C+bn A(n+1)-a・A(n)=0……等比数列A(n)=Can A(n+1)-a・A(n)=b……線形1階差分方程式 b A(n)=Can+──── 1-a A(n+1)-a・A(n)=B(n)……線形1階差分方程式 A(n)=Can+U*(n) ただし、U*(n)は未定係数法で求める。 以上のように差分方程式は結構難しい。 この上を行く線形2階差分方程式は、質問の特性方程式を使って解くことになる。 A(n+2)+a・A(n+1)+b・A(n)=0 A(n)=ρn とおくと、 ρn+2+a・ρn+1+b・ρn=0 ρn(ρ2 +aρ+b)=0 因数分解の右側の式(特性方程式という)ρ2 +aρ+b=0を解いて、 解の公式より、 -a±√(a2 -4b) ρ=──────────── 2 これをρ1 、ρ2 とすると、 ρ1 ≠ρ2 ならば、A(n)=C1 ρ1 n +C2 ρ2 n ρ1 =ρ2 ならば、A(n)=(C1 +C2 n)ρ1 n となる。 これを使ってフィボナッチ数列を解いてみよう。 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…… A(n+2)=A(n+1)+A(n),A(1)=1,A(2)=1 A(n+2)-A(n+1)-A(n)=0より、 a=-1,b=-1 特性方程式ρ2 -ρ-1=0を解くと、 1±√(1+4) 1±√5 ρ=────────=──── 2 2 ρ1 ≠ρ2 より、 1+√5 1-√5 A(n)=C1 ( ──── )n +C2 ( ──── )n 2 2 初期条件A(1)=1,A(2)=1より、 C1 +C2 √5(C1 -C2 ) ─────+────────=1 2 2 (C1 +C2 )+√5(C1 -C2 )=2……① 3(C1 +C2 ) √5(C1 -C2 ) ───────+──────────=1 2 2 3(C1 +C2 )+√5(C1 -C2 )=2……② ②-①より、2(C1 +C2 )=0 C1 +C2 =0……③ ①×3-②より、2√5(C1 -C2 )=4 C1 -C2 =2/√5……④ ③+④より、 2C1 =2/√5 ∴C1 =1/√5 ③より、 ∴C2 =-1/√5 したがって、 1 1+√5 1 1-√5 A(n)=──( ──── )n -──( ──── )n ……(答) √5 2 √5 2