質問＜２９７０＞２００６／２／２０
from=ゆりえ
「直線の方程式」

原点を通り、２直線
ｘ＋１＝ｙ＝ｚ－２
（ｘ＋１）／４＝ｙ／２＝ｚ－２
の両方に交わる直線の方程式を求めよ。

教えて下さい。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／３０
from=KINO

＜１８３７＞にほとんど同じ問題があります。
それに対する UnderBird さんのご解答が参考になります。
（本問に合わせて数値を少し変えるだけで，方針は全く同じです。）

UnderBird さんのご解答の繰り返しになりますが，以下に解答を示しておきます。

なお，この解答では空間ベクトルの知識を用います。

まず，２直線に
M: ｘ＋１＝ｙ＝ｚ－２
N: （ｘ＋１）／４＝ｙ／２＝ｚ－２
と名前をつけておきます。
また，求める直線を L と名づけます。

L と M の交点を P とおくと，P は M 上の点ですから，ある実数 s を用いて
 P(s-1,s,s+2) と表せます。
同様に，L と N の交点 Q も実数 t を用いて Q(4t-1,2t,t+2) と表せます。

P, Q は L 上になければならず，また L は原点を通りますので，P, Q と原点 O
 は一直線上（つまり，直線 L 上）に並びます。
このことから，ベクトル OP と OQ は平行になるので，
ある実数 k を用いて
OP=kOQ
と書き表すことができます。

この等式を成分ごとに書き下すと，
s-1=k(4t-1)=4kt-k,
s=2kt,
s+2=k(t+2)=kt+2k
という連立方程式になります。

これを解くために，第2式 s=kt を用いて，第1式，第3式から kt を消去したものを
求めると，それぞれ
s-1=4s-k,
s+2=s+2k
となります。
この第2式から k=1 がわかり，それを第1式に代入して s=0 を得て，最後にこれらを
 s=kt に代入して t=0 を得ます。

これで，P の座標が (-1,0,2) となることがわかりました。これは L の方向ベクトル
にもなっています。
したがって，L は (-1,0,2) を通り，方向ベクトルが (-1,0,2) の直線だということ
になります。
方向ベクトルの y 成分が 0 であることに注意すると，
L: (x-(-1))/(-1)=(z-2)/2, y=0,
すなわち
L: -x+1=(z-2)/2, y=0
が答えになります。