質問＜３０５３＞２００６／４／１
from=輝
「不等式」

次の不等式を証明せよ。
x-(x^2/2)＜log(1+x)＜x  (x＞0)

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２
from=wakky

f(x)=x-(x^2/2)-log(1+x)とおくと
f'(x)=-x^2/(1+x)
x＞0のときf(x)は単調減少でf(0)=0だから
x＞0ではf(x)＜0
g(x)=log(1+x)-xとおくと
g'(x)=-x/(1+x)
x＞0のときg(x)は単調減少でg(0)=0だから
x＞0ではg(x)＜0
以上から、与不等式が示された。

お便り２００６／４／８
from=S（社会人）

基本的には、wakky さんと同じですが、
つい昨日　「 平均値の定理 」　の活用で素敵な答案記述法を
教えて頂きましたので…

（ 答案 ）
（ 証 ）
（１）
ｆ（ｘ）＝｛ｘ－（ｘ＾２／２）｝－ｌｏｇ（１＋ｘ）　とおくと、
ｆ（ｘ）　は連続関数である。
ここに、　ｆ’（ｘ）＝（１－ｘ）－｛１／（１＋ｘ）｝
　　　　　　　　　　＝－ｘ＾２／（１＋ｘ）＜０　（ ｘ＞０ ）
また、　ｆ（０）＝０
このとき、　０＜ｃ＜ａ　について平均値の定理から
ｆ（ａ）－ｆ（０）＝ｆ’（ｃ）（ａ－０）＜０
したがって、任意の　ｘ＞０　について
ｆ（ｘ）－ｆ（０）＜０　は　ｆ（ｘ）＜０　で
ｘ－（ｘ＾２／２）＜ｌｏｇ（１＋ｘ）　（ ｘ＞０ ）

（２） 
ｇ（ｘ）＝｛ｌｏｇ（１＋ｘ）｝－ｘ　とおくと、　ｇ（ｘ）　は連続関数である。
ここに、　ｇ’（ｘ）＝｛１／（１＋ｘ）｝－１
　　　　　　　　　　＝－ｘ／（１＋ｘ）＜０　（ ｘ＞０ ）
また、　ｇ（０）＝０
このとき、　０＜ｃ’＜ａ’　について平均値の定理から
ｇ（ａ’）－ｇ（０）＝ｇ’（ｃ）（ａ’－０）＜０
したがって、任意の　ｘ＞０　について
ｇ（ｘ）－ｇ（０）＜０　は　ｇ（ｘ）＜０　で
ｌｏｇ（１＋ｘ）＜ｘ　（ ｘ＞０ ）
（ 終 ）

のようにする方法があるようです。