質問<3319>2006/7/25
1)次の関数はどの点でも正則でない事を示せ。 但しz=x+iyとする。 a)f(z)=zバー b)f(z)=x^2+iy^2 2)次の値を求めよ a)eのiπ乗-eのiπ/4乗 b)cos(π/4+i) 3)関数f(z)が正則のとき、h=|f(Z)|^2 と置けば ∂^2h/∂x^2+∂^2h/∂y∂^2=4|f`(z)|^2 であることを示せ。 全くわかりません。ご指導を。 ★完全解答希望★
お便り2006/8/8
from=UnderBird
1) a)f(z)=zバー f(z)=u+ivとおくと、u=x,v=-y ここで、コーシーリーマンの方程式を満たすか確かめる。 ∂u/∂x=1,∂v/∂y=-1より∂u/∂x≠∂v/∂yだから、正則でない。 b)f(z)=x^2+iy^2 同様にu=x^2,v=y^2で ∂u/∂x=2x,∂v/∂y=2y ∂u/∂y=0,∂v/∂x=0より、 x=yでは、∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂xを満たすが、これは領域で正則でない。 2)次の値を求めよ a)eのiπ乗-eのiπ/4乗 b)cos(π/4+i) 公式e^(iθ)=cos(θ)+i sin(θ)の利用 cos(z)の定義および3)は複素関数論の本にはほとんど書いてあると思います。 調べてください。
お便り2006/8/8
from=JJon.com
完全解答ではありません,あしからず。 未解決質問<2938>と同じ質問です。
お便り2006/9/26
from=みのる
質問3319(3)を教えて下さい。
お便り2006/9/30
from=UnderBird
z=x+iy f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とおく。以後u(x,y)=u,v(x,y)=vとかく。 h=|f(z)|=u^2+v^2 また、偏微分∂h/∂xを入力大変なのでdh/dxやh_xで また、∂^2h/∂x^2をd^2h/dx^2やh_x_xで表します。 d^2h/dx^2=d/dx(dh/dx) =d/dx(2uu_x+2vv_x) =2{(u_x)^2+uu_x_x+(v_x)^2+vv_x_x} 同様に、 d^2h/dy^2=d/dy(dh/dy) =d/dy(2uu_y+2vv_y) =2{(u_y)^2+uu_y_y+(v_y)^2+vv_y_y} ここで、コーシーリーマンの方程式から u_x=v_y,u_y=-v_xが成り立ち、 正則条件からu_x_y=u_y_x,v_x_y=v_y_xが成り立つことに注意すると, u_x_x=(u_x)_x=(v_y)_x=v_y_x, u_y_y=(u_y)_y=(-v_x)_y=-v_x_y より、u_x_x+u_y_y=0であり、同様に v_x_x+v_y_y=0 よって、 左辺=d^2h/dx^2+d^2h/dy^2 =4{(u_x)^2+(u_y)^2} =4|f'(z)|^2 =右辺
お便り2006/10/4
from=みのる
(2)について、よくわかりません。ご指導を。
お便り2006/10/12
from=主夫
e^(iπ)-e^(iπ/4) e^(x+iy)=(e^x)(cosy+isiny) という公式があります。 この問題は,e^(iπ)もe^(iπ/4)どちらも実部が0ですから,上の式にx=0 を代入すると,もっとよく知られている公式になります。 それが最初にUnderBirdさんが解説されている, e^(iθ)=cos(θ)+i sin(θ) の式です。 あとは代入するだけ。 e^(iπ) =cosπ+isinπ =-1 同様に e^(iπ/4) =cos(π/4)+isin(π/4) =1/√2+i/√2 以下の計算は省略します。 cos(i+π/4) 単純に以下の公式 cos(x+yi)=[{e^y+e^(-y)}/2]*cosx-i[{e^y-e^(-y)}/2]sinx にx=π/4とy=1を代入してください。 みのるさんへ 幾何学Ⅱ,解析学Ⅱ,解析学Ⅲ,代数学Ⅱ…といろいろ大変だとは思いますが, 一つ一つ着実に学習されることを強くお勧めします。