質問

１）次の関数はどの点でも正則でない事を示せ。
　　但しｚ＝ｘ＋ｉｙとする。
　　ａ）ｆ（ｚ）＝ｚバー
　　ｂ）ｆ（ｚ）＝ｘ＾2+iy＾2
２）次の値を求めよ
　　ａ）ｅのｉπ乗－ｅのｉπ/4乗
　　ｂ）ｃｏｓ（π/4+i)
３）関数ｆ（ｚ）が正則のとき、ｈ＝｜ｆ（Z)|＾2
    と置けば
　　∂＾2h/∂x＾2+∂＾2h/∂y∂＾2=4|f`(z)|＾2
    であることを示せ。
全くわかりません。ご指導を。

★完全解答希望★

お便り２００６／８／８
from=UnderBird

１）
　　ａ）ｆ（ｚ）＝ｚバー
f(z)=u+ivとおくと、u=x,v=-y
ここで、コーシーリーマンの方程式を満たすか確かめる。
∂u/∂x=1,∂v/∂y=-1より∂u/∂x≠∂v/∂yだから、正則でない。
　　ｂ）ｆ（ｚ）＝ｘ＾2+iy＾2
同様にu=x^2,v=y^2で
∂u/∂x=2x,∂v/∂y=2y   ∂u/∂y=0,∂v/∂x=0より、
x=yでは、∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂xを満たすが、これは領域で正則でない。

２）次の値を求めよ
　　ａ）ｅのｉπ乗－ｅのｉπ/4乗
　　ｂ）ｃｏｓ（π/4+i)
公式e^(iθ)=cos(θ)+i sin(θ)の利用
cos(z)の定義および３）は複素関数論の本にはほとんど書いてあると思います。
調べてください。

お便り２００６／８／８
from=JJon.com

完全解答ではありません，あしからず。
未解決質問＜２９３８＞と同じ質問です。

お便り２００６／９／２６
from=みのる

質問３３１９（３）を教えて下さい。

お便り２００６／９／３０
from=UnderBird

z=x+iy
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とおく。以後u(x,y)=u,v(x,y)=vとかく。
h=|f(z)|=u^2+v^2
また、偏微分∂h/∂xを入力大変なのでdh/dxやh_xで
また、∂＾2h/∂x＾2をd^2h/dx^2やh_x_xで表します。
　　d^2h/dx^2=d/dx(dh/dx)
             =d/dx(2uu_x+2vv_x)
　 　　　　　=2{(u_x)^2+uu_x_x+(v_x)^2+vv_x_x}
同様に、
　　d^2h/dy^2=d/dy(dh/dy)
             =d/dy(2uu_y+2vv_y)
　 　　　　　=2{(u_y)^2+uu_y_y+(v_y)^2+vv_y_y}
ここで、コーシーリーマンの方程式から
u_x=v_y,u_y=-v_xが成り立ち、
正則条件からu_x_y=u_y_x,v_x_y=v_y_xが成り立つことに注意すると,
u_x_x=(u_x)_x=(v_y)_x=v_y_x,
u_y_y=(u_y)_y=(-v_x)_y=-v_x_y
より、u_x_x+u_y_y=0であり、同様に v_x_x+v_y_y=0
よって、
　左辺=d^2h/dx^2+d^2h/dy^2
      =4{(u_x)^2+(u_y)^2}
      =4|f'(z)|^2
      =右辺

お便り２００６／１０／４
from=みのる

（２）について、よくわかりません。ご指導を。

お便り２００６／１０／１２
from=主夫

e^(iπ)-e^(iπ/4)

e^(x+iy)=(e^x)(cosy+isiny) という公式があります。
この問題は，e^(iπ)もe^(iπ/4)どちらも実部が0ですから，上の式にx=0
を代入すると，もっとよく知られている公式になります。
それが最初にUnderBirdさんが解説されている，
e^(iθ)=cos(θ)+i sin(θ)
の式です。
あとは代入するだけ。
e^(iπ)
=cosπ+isinπ
=-1
同様に
e^(iπ/4)
=cos(π/4)+isin(π/4)
=1/√2+i/√2
以下の計算は省略します。

cos(i+π/4)

単純に以下の公式
cos(x+yi)=[{e^y+e^(-y)}/2]*cosx-i[{e^y-e^(-y)}/2]sinx
にx=π/4とy=1を代入してください。


みのるさんへ
幾何学Ⅱ，解析学Ⅱ，解析学Ⅲ，代数学Ⅱ…といろいろ大変だとは思いますが，
一つ一つ着実に学習されることを強くお勧めします。