質問＜３３５７＞２００６／９／２
from=名無し
「不等式の証明」

a^2+b^2=c^2ならば、a^3+b^3＜c^3であることを示せ。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／４
from=UnderBird

何か条件抜けてませんか？
たとえばa,b,cは正とか
　
反例　a=3,b=4,c=-5

お便り２００６／９／４
from=KINO

「a, b, c が正の数のとき」というような前提条件があるはずです。
そうでないと，この不等式が成り立たない場合がでてきます。

a＞0, b＞0, c＞0 が a^2+b^2=c^2 をみたしているとします。
ここで，a≦b として一般性を失いません。
そうすると，a^3≦a^2b ですから，
a^3+b^3≦a^2b+b^3=(a^2+b^2)b=bc^2.
また，a^2＞0 より b^2＜a^2+b^2=c^2. b, c ともに正の数なので，
これより b＜c. よって bc^2＜c^3.
以上より，a^3+b^3≦bc^2＜c^3.

お便り２００６／９／４
from=wakky

まず条件が足りません。
a,b,cはどれも正の数
という条件で回答します。

(a^2+b^2)^3-(a^3+b^3)^2を計算して
3a^2b^2[{a-(b/3)}^2+(8/9)b^2]＞0を得ます。
すなわち
(a^3+b^3)^2＜c^6
a,b,cはどれも正の数だから
題意が満たされました。

（別解）
a^2+b^2=cより
a＜cかつb＜cに気付けば計算も楽になります。
c^3=c(a^2+b^2)=ca^2+cb^2＞aa^2+bb^2=a^3+b^3