質問<3365>2006/9/6
次の問題が分かりませんよろしくお願いします。 次の写像fに対し、A={x、y|x^2+y^2<1}の像f(A)を図示せよ。 ①f:R^2→R^2、f(x、y)=(2x、3y) ②f:R^2→R^2、f(x、y)=(x+y、xy) ★完全解答希望★
お便り2006/9/8
from=μG
質問<2791>を見ましょう
お便り2006/9/9
from=KINO
質問<3365>への回答としてμG さんが参照された 質問<2791>における Cononymous Award さんの回答に書かれた式が一部間違っていますので, その訂正および詳解をつけたものを投稿させていただきます。 ------------------------------------------------------- R^2 は,ふたつの実数 x, y の組の集合です。 いわゆる xy 平面のことだと思って差し支えありません。 1,2 ではいずれも f が 平面上の点を平面上の他の点に写す写像として与えられて います。 ですから,原点を中心とする単位円の内部 A の点を f で飛ばした先の点の集合 f(A) がどういうものなのかを求めることが問題です。 1. f(x,y)=(X,Y) とおき,(x,y)∈A のとき X と Y の関係がどうなっているかを 調べます。 そうすると,X=2x,Y=3y ですから,x=X/2,y=Y/3 となり,x^2+y^2<1 なので, (X,Y) は (X/2)^2+(Y/3)^2<1 をみたします。 これは楕円 (x/2)^2+(y/3)^2=1 の内部を表す不等式です。 楕円を表す方程式についてご存じないかもしれませんが, それはご自分でお調べ下さい。 2. X=x+y, Y=xy とおくと,x^2+y^2=(x+y)^2-2xy より,X^2-2Y<1 となります。 一方,x,y は実数ですから (x-y)^2≧0 です。 したがって,(x-y)^2=(x+y)^2-4xy より,X^2-4Y≧0 でなければなりません。 以上より,ふたつの放物線 y=(x^2-1)/2 と y=x^2/4 で囲まれた部分が f による A の像 f(A) であることがわかりました。 正確には,y>(x^2-1)/2 より y=(x^2-1)/2 のグラフの上側であり, かつ y≦x^2/4 より y=x^2/4 上の点またはそれよりも下にあるような点です。 そしてこれらの交点 (±√2,1/2) はどちらも含みません。