質問＜３３６５＞２００６／９／６
from=あい
「写像について」

次の問題が分かりませんよろしくお願いします。

次の写像ｆに対し、Ａ＝｛ｘ、ｙ｜ｘ＾２＋ｙ＾２＜１｝の像ｆ（Ａ）を図示せよ。
①ｆ：Ｒ＾２→Ｒ＾２、ｆ（ｘ、ｙ）＝（２ｘ、３ｙ）
②ｆ：Ｒ＾２→Ｒ＾２、ｆ（ｘ、ｙ）＝（ｘ＋ｙ、ｘｙ）

★完全解答希望★

お便り２００６／９／８
from=μG

質問＜２７９１＞を見ましょう

お便り２００６／９／９
from=KINO

質問＜３３６５＞への回答としてμG さんが参照された
質問＜２７９１＞における
Cononymous Award さんの回答に書かれた式が一部間違っていますので，
その訂正および詳解をつけたものを投稿させていただきます。

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R^2 は，ふたつの実数 x, y の組の集合です。
いわゆる xy 平面のことだと思って差し支えありません。

1，2 ではいずれも f が 平面上の点を平面上の他の点に写す写像として与えられて
います。
ですから，原点を中心とする単位円の内部 A の点を f で飛ばした先の点の集合 
f(A) がどういうものなのかを求めることが問題です。

1. f(x,y)=(X,Y) とおき，(x,y)∈A のとき X と Y の関係がどうなっているかを
調べます。
そうすると，X=2x，Y=3y ですから，x=X/2，y=Y/3 となり，x^2+y^2＜1 なので，
(X,Y) は (X/2)^2+(Y/3)^2＜1 をみたします。
これは楕円 (x/2)^2+(y/3)^2=1 の内部を表す不等式です。
楕円を表す方程式についてご存じないかもしれませんが，
それはご自分でお調べ下さい。

2. X=x+y, Y=xy とおくと，x^2+y^2=(x+y)^2-2xy より，X^2-2Y＜1 となります。
一方，x，y は実数ですから (x-y)^2≧0 です。
したがって，(x-y)^2=(x+y)^2-4xy より，X^2-4Y≧0 でなければなりません。
以上より，ふたつの放物線 y=(x^2-1)/2 と y=x^2/4 で囲まれた部分が
f による A の像 f(A) であることがわかりました。
正確には，y＞(x^2-1)/2 より y=(x^2-1)/2 のグラフの上側であり，
かつ y≦x^2/4 より y=x^2/4 上の点またはそれよりも下にあるような点です。
そしてこれらの交点 (±√2,1/2) はどちらも含みません。