質問＜３４８９＞２００６／１２／２３
from=Yukan
「∑やlimの入った不等式の証明」

年の瀬に失礼いたします。

（１）ｘ＞０のとき、任意の自然数nに対し
　e^x＞n∑k=0（ｘ＾ｋ／ｋ！）
が成り立つことを示せ。

（２）任意の自然数nに対し
limｘ→+∞（ｘ＾ｎ／ｅ＾ｘ）＝０
が成り立つことを示せ。

※（１）はテーラー展開、（２）はロピタルの定理を使わずに
という条件で、解けますでしょうか。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１２／２４
from=wakky

質問＜３４７３＞のjuinさんの解答を見てください。

お便り２００６／１２／２５
from=S~（社会人）

こんにちは。
（２）　任意の自然数nに対し　limｘ→+∞（ｘ＾ｎ／ｅ＾ｘ）＝０　が成り立つこ
とを示せ。
の方だけです。（ （１）　を使わないで考えて見ました。 ）

（イ） n＜0　のとき、　x^n＝1/x^|n|→0　（ x→∞ ）　であるから、与式は成り
立つ。
（ロ） n＝0　のとき、　与式は自明である。
（ハ） n＞0　のとき　f(x)=x^n/e^x　とおくと、　f'(x)＝(1/e^x)x^n｛(n/x)-1｝
　であるから、
十分に大きい　x　の範囲　（ x＞n ）　では　f'(x)＜0　で　f(x)　は単調に減少
する。
また、　f(x)＞0　は自明である。

このとき、　0＜m≦x^n/e^x　なる　m　の存在を仮定すると、 1/m≧e^x/x^n＝g(x)
　について、
g'(x)＝(x-n)e^x/x^(n+1)＞0　（ x>n ）
g''(x)＝(e^x/x^n)｛1- 2(n+1)/x + n(n+1)/x^2｝＞０　（ x＞2(n+1)　など ）　で
あるから、
g(x)＞g(a)+g'(a)(x-a)　（ a　は十分に大きい或る正数 ） → ∞　（ x→∞ ）
すなわち、　x→∞　で　1/m≧e^x/x^n→∞
これは矛盾である。
したがって、　m　は存在しない。よって、題意が示せた。

p.s.
下記の数学　BBS　でこの問題解法の一部の遣り取りをしています。

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=26244

廻って見て下さい。

お便り２００６／１２／２６
from=S~（社会人）

問題文の「 任意の自然数nに対し 」をよく読まないで　n∈R　で考えていました。
すみません。
勿論、　n∈N　でも成り立ちます。