質問<3531>2007/4/14~5/8
こんにちは。お願いします。 本格的な証明は、書籍一冊を要するともお伺いしているのですが、以下は、高校の知 識の範囲内の幾何学的な方法(一部εδ論法も使っていますが)で、なんとか証明出 来ないだろうかと試みてみたものです。 ( 証 ) 定義: 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集 合である。 さて、単位円の内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、 n→∞ で 頂角→0。すなわち、 底辺の長さ 2sin((1/2)(全円周の中心角/n))→0 で底辺の両端点が中点 M に接近する。 他方、線分 OM の大きさは cos((1/2)(全円周の中心角/n))→1 となり、全二等 辺三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち 単位円 O の半径 1 に近づく。 ここで、当該閉区間の任意の実数 Θ∈{全円の中心の周りの各角度} は区間縮小 法( n=2^a, a∈N-{0,1}, a→∞)で確定可能である。しかして n→∞(a→∞) の とき、中点の集合 {M(n)} と O の周りの各角度の集合{Θ(n)} は極限で、 幾何学的に見て全単射かつ連続写像となるから、 {M(n)} は連続かつ円 O の 中心から等距離であり、その集合は定義により円である。 然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径と同等であるから、内接正 n 角形 の極限としての円は元の単位円に相等しい。 かくのごとく、或る円の内接正 n 角形の極限が同円とすると、任意の円はそれぞれ 相似であるから、円の周と直径の比は一定である。これをもって、 定義: 円周/直径=π ( 一定 ) から、 円周=π*直径=2π ( 半径=1 ) このとき、中心角を 2π( ラジアン ) とする。 いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n)) =2π(sin(π/n))/(π/n) →2π( 円周 ) ( n→∞ ) したがって、 (sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞) すなわち、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n) (n∈N) → 1 (n→∞) ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0<x∈R) を考える。 0<u(x)→0 で cos(u(x))<1, (sin(u(x)))/u(x)<1 などから、 x→∞ で分母 子の平均変化率は常に、 分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x)) = (-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin(((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+ h)))) ≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率 よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x) の減少の傾向より緩やかであることが判る。 ゆえに、 f(x) は単調に増加する。 しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。 このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、 任意の ε>0 に対して n≧n[0] ⇒ 1 - f(n)<ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する(f の単調性から、 1≧f(n) となることに注意 する)。 この n[0] に対して x>n[0] ならば、 1 - f(x)= {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)} <1 - f(n[0]) <ε となるので、f(x) は x→+∞ で収束し、 lim[x→+∞]f(x) = 1 ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 (Θ:ラジアン) ( 終 ) ※アドバイスをお願いします。
お便り2007/6/8
from=cqzypx
お便り2007/6/12
from=S~(社会人)
cqzypx さんの応答への再質問です。 精力的な応答を感謝致します。さて、思い浮かんだことを下に書き述べます。 (1) まず、杉浦先生の「 比:2sin(t)/2t 」( 解析入門Ⅰ p176 図3.1 から ) を考えるとき、分母は弧度法で記述されてるのだろうと思われますが、前記の証明で 円の相似が未知である段階では、これを「 円弧 」と弦の長さの比と認識することは 避けたいと思います。 (2) 次に、矢野健太郎著「 微分積分学 」(裳華房)p139 Ⅱ.曲線の長さ によりますが、 「 平面上で、二点 P,Q を結ぶ一つの曲線 C を考える。いま C 上に点 P=P[0],P[1],P[2],…,P[n-1],P[n]=Q をとる。 n を十分大きくすることによっ て、各線分 P[i-1]P[I]( 1≦i≦n ) の長さ 〔P[i-1]P[I]〕( 線分の意味で 。 ) を十分小さくしていくとき、 ∑[i=1~n]〔P[i-1]P[I]〕 がある一定の極 限値 l に限りなく近づいていくならば、この曲線は長さをもつといって、 l を その長さという。 」 を参考に、近似折れ線の極限を以って当該曲線と定義すれば、いま証明を幾何学 的に試みるのであるから、内接正 n 角形の極限が円に収束することの直感が許容 されるのではないかと期待しているのですが、ダメでしょうか。 お手数をお掛けします。 敬白 S~(社会人)
お便り2007/6/15
from=cqzypx
とりあえずこの辺読んでください。 http://question.excite.co.jp/qa2884796.html
お便り2007/6/17
from=S~(社会人)
cqzypx さん、再度の応答を有難う御座います。 御紹介頂きましたサイトに廻って見ました。いろいろ考えなくてはならない、僕の知 らないことがたくさんあるのですね。 ただ、フラクタルのように「 細かいギザギザのある円 」というイメージは、半径 が不定になりますので変だと思われました。 前記のトライアルは、自分の知識の最大量でした。この先は、ゆっくり行きたいと存 じます。
お便り2007/6/22
from=S~(社会人)
「lim_[θ→0](sinθ)/θ=1 の証明のトライアル 」の引き続きの質問をお願いしま す。 円が相似であることに関する議論は避けて、円の周長に注目して ( 証 ) 定義: 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集 合である。 さて、単位円の内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、 n→∞ で 頂角→0。すなわち、 底辺の長さ 2sin((1/2)(全円の中心角/n))→0 で底辺の両端点が中点 M に接近する。 他方、線分 OM の大きさは cos((1/2)(全円の中心角/n))→1 となり、全二等辺 三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち単 位円 O の半径 1 に近づく。 ここで、当該閉区間の任意の実数 Θ∈{全円の中心の周りの各角度} は区間縮小 法( n=2^a, a∈N-{0,1}, a→∞)で確定可能である。しかして n→∞(a→∞) の とき、中点の集合 {M(n)} と O の周りの各角度の集合{Θ(n)} は極限で、 幾何学的に見て全単射かつ連続写像となるから、 {M(n)} は連続かつ円 O の 中心から等距離であり、その集合は定義により円である。 然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径と同等であるから、内接正 n 角形 の極限としての円は元の単位円に相等しい。 このとき円の周長は、多角形の辺の総和の極限であるから、中心 O を頂点とする 一つの二等辺三角形の斜辺(円の半径)の大きさに比例することが判る。よって、円 の周長と直径の比は一定である。しかして、 定義: 円周/直径=π ( 一定 ) から、単位円について 円周=π*直径=2π。ま た、弧度法の定義から全円の中心角は 2π( ラジアン ) となる。 いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n)) =2π(sin(π/n))/(π/n) →2π( 円周 ) ( n→∞ ) したがって、 (sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞) すなわち、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n) (n∈N) → 1 (n→∞) ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0<x∈R) を考える。 0<u(x)→0 で cos(u(x))<1, (sin(u(x)))/u(x)<1 などから、 x→∞ で分母 子の平均変化率は常に、 分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x)) = (-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin(((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+ h)))) ≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率 よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x) の減少の傾向より緩やかであることが判る。 ゆえに、 f(x) は単調に増加する。 しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。 このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、 任意の ε>0 に対して n≧n[0] ⇒ 1 - f(n)<ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する(f の単調性から、 1≧f(n) となることに注意 する)。 この n[0] に対して x>n[0] ならば、 1 - f(x)= {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)} <1 - f(n[0]) <ε となるので、f(x) は x→+∞ で収束し、 lim[x→+∞]f(x) = 1 ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 (Θ:ラジアン) ( 終 ) というふうにしたら良いでしょうか。
お便り2007/7/3
from=S~(社会人)
「lim_[θ→0](sinθ)/θ=1 の証明のトライアル 」の revision を掲示下さいませんか。 前述の証明に幾らか改訂を加えましたので、改めて以下を御覧下さいますよう。 ( 証 ) 定義: 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集 合である。 さて、単位円の内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、 n→∞ で 頂角→0。すなわち、 底辺の長さ 2sin((1/2)(全円の中心角/n))→0 で底辺の両端点が中点 M に接近する。 他方、線分 OM の大きさは cos((1/2)(全円の中心角/n))→1 となり、全二等辺 三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち単 位円 O の半径 1 に近づく。 ここで、円のあらゆる大きさの中心角の集合は、実数による或る大きさを持った閉区 間である。しかして n→∞(a→∞) のとき、中点の集合 {M(n)} と O の周 りの各角度の集合{Θ(n)} は極限で、幾何学的に見て全単射かつ連続写像となる から {M(n)} は連続、かつ {M(n)} の全ての元は円 O の中心から等距離 であり、その集合は定義により円である。 然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径の大きさと等しいから、内接正 n 角形の極限としての円は元の単位円に相等しい。 このとき円の周長は、多角形の辺の総和の極限であるから、中心 O を頂点とする 一つの二等辺三角形の斜辺(円の半径)の大きさに比例することが判る。よって、円 の周長と直径の比は一定である。しかして、 定義: 円周/直径=π ( 一定 ) から、単位円について 円周=π*直径=2π。ま た、弧度法の定義から全円の中心角は 2π( ラジアン ) となる。 いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n)) =2π(sin(π/n))/(π/n) →2π( 円周 ) ( n→∞ ) したがって、 (sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞) すなわち、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n) (n∈N) → 1 (n→∞) ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0<x∈R) を考える。 0<u(x)→0 で cos(u(x))<1, (sin(u(x)))/u(x)<1 などから、 x→∞ で分母 子の平均変化率は常に、 分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x)) = (-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin(((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+ h)))) ≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率 よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x) の減少の傾向より緩やかであることが判る。 ゆえに、 f(x) は単調に増加する。 しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。 このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、 任意の ε>0 に対して n≧n[0] ⇒ 1 - f(n)<ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する(f の単調性から、 1≧f(n) となることに注意 する)。 この n[0] に対して x>n[0] ならば、 1 - f(x)= {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)} <1 - f(n[0]) <ε となるので、f(x) は x→+∞ で収束し、 lim[x→+∞]f(x) = 1 ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 (Θ:ラジアン) ( 終 ) これで再度御検討願います。
お便り2007/7/15
from=S~(社会人)
( 証 ) 定義: 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集 合である。 さて、単位円の内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、 n→∞ で 頂角→0。すなわち、 底辺の長さ 2sin((1/2)(全円の中心角/n))→0 で底辺の両端点が中点 M に接近する。 他方、線分 OM の大きさは cos((1/2)(全円の中心角/n))→1 となり、全二等辺 三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち単 位円 O の半径 1 に近づく。 ここで、円のあらゆる大きさの中心角の集合は、実数による或る大きさを持った閉区 間である。しかして n→∞(a→∞) のとき、中点の集合 {M(n)} と O の周 りの各角度の集合{Θ(n)} は極限で、幾何学的に見て全単射かつ連続写像となる から {M(n)} は連続、かつ {M(n)} の全ての元は円 O の中心から等距離 であり、その集合は定義により円である。 然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径の大きさと等しいから、内接正 n 角形の極限としての円は元の単位円に相等しい。 このとき円の周長は、多角形の辺の総和の極限であるから、中心 O を頂点とする 一つの二等辺三角形の斜辺(円の半径)の大きさに比例することが判る。よって、円 の周長と直径の比は一定である。しかして、 定義: 円周/直径=π ( 一定 ) から、単位円について 円周=π*直径=2π。ま た、弧度法の定義から全円の中心角は 2π( ラジアン ) となる。 いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n)) =2π(sin(π/n))/(π/n) →2π( 円周 ) ( n→∞ ) したがって、 (sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞) すなわち、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n) (n∈N) → 1 (n→∞) ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0<x∈R) を考える。 0<u(x)→0 で cos(u(x))<1, (sin(u(x)))/u(x)<1 などから、 x→∞ で分母 子の平均変化率は常に、 分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x)) = (-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin(((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+ h)))) ≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率 よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x) の減少の傾向より緩やかであることが判る。 ゆえに、 f(x) は単調に増加する。 しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。 このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、任意の ε>0 に対して、 n≧n[0] ⇒ 0≦1 - f(n)<ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する。しかして、 f の単調性から 1≧f(n)、したがって 1≧f(x) となることに注意すると、こ の n[0] に対して x>n[0] ならば、 0≦1 - f(x) = {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)} <1 - f(n[0]) <ε となるので、f(x) は x→+∞ で収束し、 lim[x→+∞]f(x) = 1 ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 (Θ:ラジアン) ( 終 ) 何度も相済みません。敬白 S~(社会人)
お便り2007/8/5
from=S~(社会人)
総入れ替えして下さい。 ( 証 ) 定義: 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集 合である。 さて、単位円の内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、 n→∞ で 頂角→0。すなわち、 底辺の長さ 2sin((1/2)(全円の中心角/n))→0 で底辺の両端点が中点 M に接近する。 他方、線分 OM の大きさは cos((1/2)(全円の中心角/n))→1 となり、全二等辺 三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち単 位円 O の半径 1 に近づく。 ここで、円のあらゆる大きさの中心角の集合は、実数による或る大きさを持った閉区 間である。しかして n→∞(a→∞) のとき、中点の集合 {M(n)} と O の周 りの各角度の集合{Θ(n)} は極限で、幾何学的に見て全単射かつ連続写像となる から {M(n)} は連続、かつ {M(n)} の全ての元は円 O の中心から等距離 であり、その集合は定義により円である。 然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径の大きさと等しいから、内接正 n 角形の極限としての円は元の単位円に相等しい。 このとき円の周長は、多角形の辺の総和の極限であるから、中心 O を頂点とする 一つの二等辺三角形の斜辺(円の半径)の大きさに比例することが判る。よって、円 の周長と直径の比は一定である。しかして、 定義: 円周/直径=π ( 一定 ) から、単位円について 円周=π*直径=2π。ま た、弧度法の定義から全円の中心角は 2π( ラジアン ) となる。 いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n)) =2π(sin(π/n))/(π/n) →2π( 円周 ) ( n→∞ ) したがって、 (sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞) すなわち、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n) (n∈N) → 1 (n→∞) ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0<x∈R) を考える。 0<u(x)→0 で 0<cos(u(x))<1, 0<(sin(u(x)))/u(x)<1 などから、 x→∞ で f(x) の分母子の平均変化率は常に、 分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x)) = (-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+h )))) ≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率 よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x) の減少の傾向より緩やかであることが判る。 ゆえに、 f(x) は単調に増加する。 しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。 このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、任意の ε>0 に対して、 n≧n[0] ⇒ 0≦1 - f(n)<ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する。しかして、 f の単調性から 1≧f(n)、したがって 1≧f(x) となることに注意すると、こ の n[0] に対して x>n[0] ならば、 0≦1 - f(x) = {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)} <1 - f(n[0]) <ε となるので、f(x) は x→+∞ で収束し、 lim[x→+∞]f(x) = 1 ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 (Θ:ラジアン) ( 終 )
お便り2007/9/28
from=cqzypx
お便り2007/9/30
from=S~(社会人)
応答を感謝致します。 趣旨は解りました。ただ、前回の僕の書き込みなのですが… 単位円の中心 O を頂点、内接正 n 角形の一辺を底辺とする二等辺三角形の中点 M の 集合 {M(n)} が、 n→∞ の極限で連続 (←極限で集合 {M(n)} は点 O の 周りの連続な全ての角度と全単射でしかも連続写像となっている。 ここで、「 したがって底辺の両端点も中点とともに連続である 」、を追加してください) かつ点 O から等距離 (単位円の半径に等しい ← 両端点と連続) であることを述べれば、 これは単位円に一致、すなわち内接正 n 角形の極限の辺の総和が単位円の周長に等しいと 言えていることにならないでしょうか。
お便り2007/10/3
from=S~(社会人)
スレッドについての新しい書き込みです。反省点を加味したものです。 したがって、次の証明法で再評価をお願い致します。 ( 証 ) まず以下により、或る円の内接正n角形(n=2^N,N=2,3,…)の辺の長さ の総和は n→∞ の極限で、その円の周の長さに等しい。 (1) 円の内接正n角形の辺の長さの総和 S(n) はすべてについて円周の長さ L∈R よりも小さい。 (2) ここに、 S(n) は単調に増加して上限があるから収束して、 lim[n →∞]S(n)=α (R∋α≦L) なる或る値が存在する。 (3) いま、 α<L とすると実数の稠密性から α<x<L なる x∈R が存在するが、これは極限の内接正n角形と円との間に間隙が存在することを意味す る。 (4) しかすれば、無限大より大なる n(x)∈{n} を許容することになり 矛盾である。ゆえに、 α=L このとき円の周長は、内接正n角形の辺の総和の極限であるから、中心 O を頂点 とする一つの二等辺三角形の斜辺(円の半径)の大きさに比例することが判る。よっ て、円の周長と直径の比は一定である。 しかして、 定義: 円周/直径=π ( 一定 ) から、単位円について 円周=π*直 径=2π。 したがって、弧度法の定義から全円の中心角は 2π( ラジアン ) となる。 いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n)) =2π(sin(π/n))/(π/n) →2π( 円周 ) ( n→∞ ) したがって、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞) ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0<x∈R) を考える。 0<u(x)→0 で 0<cos(u(x))<1, 0<(sin(u(x)))/u(x)<1 などから、 x→∞ で f(x) の分母子の平均変化率は常に、 分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x)) = (-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+h )))) ≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率 よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x) の減少の傾向より緩やかであることが判る。 ゆえに、 f(x) は単調に増加する。 しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。 このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、任意の ε>0 に対して、 n≧n[0] ⇒ 0≦1 - f(n)<ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する。しかして、 f の単調性から 1≧f(n)、したがって 1≧f(x) となることに注意すると、こ の n[0] に対して x>n[0] ならば、 0≦1 - f(x) = {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)} <1 - f(n[0]) <ε となるので、f(x) は x→∞ で収束し、 lim[x→∞]f(x) = 1 ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 (Θ:ラジアン) ( 終 )
お便り2007/11/1
from=S~(社会人)
( 証 ) まず次から、或る円の内接正n角形(n=2^N, N=2,3,…)の辺の長さの総和は n→∞ の極限で、その円の周の長さに等しい。 (1) 内接正n角形の辺の長さの総和 S(n) はすべてについて円周の長さ L∈R よりも小さい。 (2) ここに、 S(n) は単調増加であり、またその円の周の長さを越えないから 上界が存在して、或る値 α∈R に収束する。すなわち、 lim[n→∞]S (n)=α である。 (3) したがって、任意の ε>0 に対して或る n(0) が在って、 n≧ n(0) なる全ての n について、 |S(n)-α|<ε。 (4) いま、 α≦L であるから、 |S(n)-L|≦|S(n)-L+(L-α)|=| S(n)-α|<ε となり lim[n→∞]S(n)=L である。 しかして、円の周長は内接正n角形の辺の長さの総和の極限であって、或る二つの円 についてみると、同じ形の内接正n角形は相似であるから、それぞれの辺の長さの総 和は、それぞれの円の中心 O を頂点、或る一辺を底辺とする一つの二等辺三角形 の斜辺(円の半径)の大きさに比例することが判る。すなわち、円の周長と直径の比 は一定である。 よって、 定義: 円周/直径=π ( 一定 ) から、単位円について 円周=π*直径 =2π。 したがって、弧度法の定義から全円の中心角は 2π( ラジアン ) となる。 いま、単位円の内接正n角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n)) =2π(sin(π/n))/(π/n) →2π( 円周 ) ( n→∞ ) したがって、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞) ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0<x∈R) を考える。 0<u(x)→0 で 0<cos(u(x))<1, 0<(sin(u(x)))/u(x)<1 などから、 x→∞ で f(x) の分母子の平均変化率は常に、 分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x)) = (-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+h )))) ≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率 よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x) の減少の傾向より緩やかであることが判る。 ゆえに、 f(x) は単調に増加する。 しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。 このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、任意の ε>0 に対して、 n≧n[0] ⇒ 0≦1 - f(n)<ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する。しかして、 f の単調性から 1≧f(n)、したがって 1≧f(x) となることに注意すると、こ の n[0] に対して x>n[0] ならば、 0≦1 - f(x) = {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)} <1 - f(n[0]) <ε となるので、f(x) は x→∞ で収束し、 lim[x→∞]f(x) = 1 ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 (Θ:ラジアン) ( 終 )
お便り2007/12/6
from=S~(社会人)
こんにちは、お世話になります。質問<3531>2007/4/14~5/8 from=S~ 「 lim_[θ→0](sinθ)/θ=1 の証明のトライアル 」 の前の方をまた考 え直して見ましたので、次を掲載して下さいませんか。 証明の前の方の部分を一部改訂致しました。次のものを御検討下さい。 ( 証 ) まず次から、或る円の内接正n角形(n=2^N, N=2,3,…)の辺の長さの総和は n→∞ の極限で、その円の周の長さに等しい. (1) 或る円の内接正n角形の辺の長さの総和 S(n) は、n角形の作図が円の内部 に止まるから、すべての S(n) について、その円の外接正方形の周の長さよりも小さ い. (2) ここに、 S(n) は単調増加であり、また (1) から上界が存在するか ら、或る値 α∈R に収束する.すなわち、 lim[n→∞]S(n)=α であ る. (3) したがって、任意の ε>0 に対して或る n(0) が存在して、 n ≧n(0) なるすべての n について、 |S(n)-α|<ε. (4) いま、円の周長を L とすると、 (イ) α≦L の場合、 |S(n)-L|≦|S(n)-L+(L-α)|=|S(n)-α|<ε となり lim[n→∞]S(n)=L である. (ロ) α>L の場合、 |L-S(n)|<|L-S(n)+(α-L)|=|α-S(n)| <ε となり lim[n→∞]S(n)=L である. したがって、いずれにしても lim[n→∞]S(n)=L しかして、円の周長は内接正n角形の辺の長さの総和の極限であって、或る二つの円 についてみると、同じ形の内接正n角形は相似であるから、それぞれの辺の長さの総 和は、それぞれの円の中心 O を頂点、或る一辺を底辺とする一つの二等辺三角形 の斜辺(円の半径)の大きさに比例することが判る。すなわち、円の周長と直径の比 は一定である。 よって、 定義: 円周/直径=π ( 一定 ) から、単位円について 円周=π*直径 =2π。 したがって、弧度法の定義から全円の中心角は 2π( ラジアン ) となる。 いま、単位円の内接正n角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n)) =2π(sin(π/n))/(π/n) →2π( 円周 ) ( n→∞ ) したがって、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞) ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0<x∈R) を考える。 0<u(x)→0 で 0<cos(u(x))<1, 0<(sin(u(x)))/u(x)<1 などから、 x→∞ で f(x) の分母子の平均変化率は常に、 分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x)) = (-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+h )))) ≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率 よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x) の減少の傾向より緩やかであることが判る。 ゆえに、 f(x) は単調に増加する。 しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。 このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、任意の ε>0 に対して、 n≧n[0] ⇒ 0≦1 - f(n)<ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する。しかして、 f の漸増性から 1≧f(n)、したがって 1≧f(x) となることに注意すると、こ の n[0] に対して x>n[0] ならば、 0≦1 - f(x) = {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)} <1 - f(n[0]) <ε となるので、f(x) は x→∞ で収束し、 lim[x→∞]f(x) = 1 ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 (Θ:ラジアン) ( 終 )
お便り2008/2/28
from=cqzypx
お便り2008/2/29
from=S~(社会人)
cqzypx さん、お便り有難う御座います。 「 ある円の内接正n角形の周長は、その円の外接正方形の周長以下である 」に付き ましては、 いま、便宜のため正方形の上半分に内接する半円とその半円の内接正n角形(半分の 形)を考える. 半分の正方形の底辺をAB、上辺をA'B'、内接正n角形の各頂点を A,C1,C2,…,Cn-1,Cn(=B)、AC1の延長とA'B'との交点を D1、C1C2の延長とA'B'との交点をD2、…、CiCi+1の延長とA'B'と の交点をDi+1、…、Cn-2Cn-1の延長とB'Bとの交点をDn-1、 Cn=Dn=Bとする. 定理「 三角形の2辺の和は他の1辺の長さより大である 」は既知とすると、 AA'+A'D1>AD1=AC1+C1D1 C1D1+D1D2>C1D2=C1C2+C2D2 C2D2+D2D3>C2D3=C2C3+C3D3 … …CiDi+1のDi+1がB'を越えるところで… CiDi+DiB'+B'Di+1>CiDi+1=CiCi+1+Ci+1Di+1 … Cn-2Dn-2+Dn-2Dn-1>Cn-2Dn-1=Cn-2Cn-1+Cn-1Dn-1 Cn-1Dn-1+Dn-1Dn(B)>Cn-1Cn 上の辺々の最端辺を加えて整理すると、 AA'+A'D1+D1D2+D2D3+…+DiDi+1+ …+Dn-2Dn-1+Dn-1Dn(B) >AC1+C1C2+C2C3+…+CiCi+1+ …+Cn-2Cn-1+Cn-1Cn(B) 外接正方形の上半分の周長>半分の内接正n角形の周長 となると考えたのです。
お便り2008/3/12
from=soredeha
(sin(π/n))/(π/n)→1 を仮定すれば lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 は、証明可能。 π/(n+1)<θ≦π/n を満たす自然数 n をとればよい。 以下を参照サレタシ。 http://www.chart.co.jp/subject/sugaku/tsusin/58/58-3.pdf
お便り2008/3/14
from=S~(社会人)
お便り2008/2/29 from=S~(社会人) に掲示していただきました分の一部 訂正です。 「 いま、便宜のため正方形の上半分に内接する半円とその半円の内接正n角形(半 分の形)を考える. 」は、 「 いま、便宜のため正方形に内接する正 2n( n=2^(N-1), N=2,3,… )角形の上半分 を考える. 」と、訂正致します。 soredeha さん、参考サイトの御紹介を有難う御座います。今後とも宜しくお願い致 します。