質問＜３５３１＞２００７／４／１４～５／８
こんにちは。お願いします。
本格的な証明は、書籍一冊を要するともお伺いしているのですが、以下は、高校の知
識の範囲内の幾何学的な方法（一部εδ論法も使っていますが）で、なんとか証明出
来ないだろうかと試みてみたものです。
（ 証 ）
定義： 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集
合である。
さて、単位円の内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、
n→∞ で 頂角→0。すなわち、 底辺の長さ 2sin((1/2)(全円周の中心角/n))→0
で底辺の両端点が中点 M に接近する。
他方、線分 OM の大きさは cos((1/2)(全円周の中心角/n))→1 となり、全二等
辺三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち
単位円 O の半径 1 に近づく。
ここで、当該閉区間の任意の実数 Θ∈｛全円の中心の周りの各角度｝ は区間縮小
法( n=2^a, a∈N-｛0,1｝, a→∞)で確定可能である。しかして n→∞(a→∞) の
とき、中点の集合 ｛M(n)｝ と O の周りの各角度の集合｛Θ(n)｝ は極限で、
幾何学的に見て全単射かつ連続写像となるから、 ｛M(n)｝ は連続かつ円 O の
中心から等距離であり、その集合は定義により円である。
然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径と同等であるから、内接正 n 角形
の極限としての円は元の単位円に相等しい。
かくのごとく、或る円の内接正 n 角形の極限が同円とすると、任意の円はそれぞれ
相似であるから、円の周と直径の比は一定である。これをもって、
定義： 円周／直径=π （ 一定 ） から、 円周=π*直径=2π （ 半径=1 ）
このとき、中心角を 2π（ ラジアン ） とする。
いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n))
=2π(sin(π/n))/(π/n)
→2π（ 円周 ） （ n→∞ ）
したがって、 (sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞)
すなわち、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n) (n∈N) → 1 (n→∞)
ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0＜x∈R) を考える。
0＜u(x)→0 で cos(u(x))＜1, (sin(u(x)))/u(x)＜1 などから、 x→∞ で分母
子の平均変化率は常に、
分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x))
=
(-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin(((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+
h))))
≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率
よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x)
の減少の傾向より緩やかであることが判る。
ゆえに、 f(x) は単調に増加する。
しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。
このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、
任意の ε＞0 に対して
n≧n[0] ⇒ 1 - f(n)＜ε
となる n[0] = n[0](ε) が存在する(f の単調性から、 1≧f(n) となることに注意
する)。
この n[0] に対して x＞n[0] ならば、
1 - f(x)= {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)}
＜1 - f(n[0])
＜ε
となるので、f(x) は x→+∞ で収束し、 lim[x→+∞]f(x) = 1
ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 （Θ：ラジアン）
（ 終 ）
※アドバイスをお願いします。
お便り２００７／６／８
from=cqzypx
お便り２００７／６／１２
from=S~（社会人）
cqzypx さんの応答への再質問です。 精力的な応答を感謝致します。さて、思い浮かんだことを下に書き述べます。 （１） まず、杉浦先生の「 比：2sin(t)/2t 」（ 解析入門Ⅰ p176 図3.1 から ） を考えるとき、分母は弧度法で記述されてるのだろうと思われますが、前記の証明で 円の相似が未知である段階では、これを「 円弧 」と弦の長さの比と認識することは 避けたいと思います。 （２） 次に、矢野健太郎著「 微分積分学 」（裳華房）p139 Ⅱ．曲線の長さ によりますが、 「 平面上で、二点 P,Q を結ぶ一つの曲線 C を考える。いま C 上に点 P=P[0],P[1],P[2],…,P[n-1],P[n]=Q をとる。 n を十分大きくすることによっ て、各線分 P[i-1]P[I]( 1≦i≦n ) の長さ 〔P[i-1]P[I]〕（ 線分の意味で 。 ） を十分小さくしていくとき、 ∑[i=1～n]〔P[i-1]P[I]〕 がある一定の極 限値 l に限りなく近づいていくならば、この曲線は長さをもつといって、 l を その長さという。 」 を参考に、近似折れ線の極限を以って当該曲線と定義すれば、いま証明を幾何学 的に試みるのであるから、内接正 n 角形の極限が円に収束することの直感が許容 されるのではないかと期待しているのですが、ダメでしょうか。 お手数をお掛けします。 敬白 S~（社会人）
お便り２００７／６／１５
from=cqzypx
とりあえずこの辺読んでください。 http://question.excite.co.jp/qa2884796.html
お便り２００７／６／１７
from=S~（社会人）
cqzypx さん、再度の応答を有難う御座います。 御紹介頂きましたサイトに廻って見ました。いろいろ考えなくてはならない、僕の知 らないことがたくさんあるのですね。 ただ、フラクタルのように「 細かいギザギザのある円 」というイメージは、半径 が不定になりますので変だと思われました。 前記のトライアルは、自分の知識の最大量でした。この先は、ゆっくり行きたいと存 じます。
お便り２００７／６／２２
from=S~（社会人）
「lim_[θ→0](sinθ)/θ=1 の証明のトライアル 」の引き続きの質問をお願いしま
す。
円が相似であることに関する議論は避けて、円の周長に注目して
（ 証 ）
定義： 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集
合である。
さて、単位円の内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、
n→∞ で 頂角→0。すなわち、 底辺の長さ 2sin((1/2)(全円の中心角/n))→0
で底辺の両端点が中点 M に接近する。
他方、線分 OM の大きさは cos((1/2)(全円の中心角/n))→1 となり、全二等辺
三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち単
位円 O の半径 1 に近づく。
ここで、当該閉区間の任意の実数 Θ∈｛全円の中心の周りの各角度｝ は区間縮小
法( n=2^a, a∈N-｛0,1｝, a→∞)で確定可能である。しかして n→∞(a→∞) の
とき、中点の集合 ｛M(n)｝ と O の周りの各角度の集合｛Θ(n)｝ は極限で、
幾何学的に見て全単射かつ連続写像となるから、 ｛M(n)｝ は連続かつ円 O の
中心から等距離であり、その集合は定義により円である。
然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径と同等であるから、内接正 n 角形
の極限としての円は元の単位円に相等しい。
このとき円の周長は、多角形の辺の総和の極限であるから、中心 O を頂点とする
一つの二等辺三角形の斜辺（円の半径）の大きさに比例することが判る。よって、円
の周長と直径の比は一定である。しかして、
定義： 円周／直径=π （ 一定 ） から、単位円について 円周=π*直径=2π。ま
た、弧度法の定義から全円の中心角は 2π（ ラジアン ） となる。
いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n))
=2π(sin(π/n))/(π/n)
→2π（ 円周 ） （ n→∞ ）
したがって、 (sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞)
すなわち、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n) (n∈N) → 1 (n→∞)
ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0＜x∈R) を考える。
0＜u(x)→0 で cos(u(x))＜1, (sin(u(x)))/u(x)＜1 などから、 x→∞ で分母
子の平均変化率は常に、
分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x))
=
(-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin(((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+
h))))
≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率
よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x)
の減少の傾向より緩やかであることが判る。
ゆえに、 f(x) は単調に増加する。
しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。
このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、
任意の ε＞0 に対して
n≧n[0] ⇒ 1 - f(n)＜ε
となる n[0] = n[0](ε) が存在する(f の単調性から、 1≧f(n) となることに注意
する)。
この n[0] に対して x＞n[0] ならば、
1 - f(x)= {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)}
＜1 - f(n[0])
＜ε
となるので、f(x) は x→+∞ で収束し、 lim[x→+∞]f(x) = 1
ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 （Θ：ラジアン）
（ 終 ）
というふうにしたら良いでしょうか。
お便り２００７／７／３
from=S~（社会人）
「lim_[θ→0](sinθ)/θ=1 の証明のトライアル 」の
revision を掲示下さいませんか。
前述の証明に幾らか改訂を加えましたので、改めて以下を御覧下さいますよう。
（ 証 ）
定義： 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集
合である。
さて、単位円の内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、
n→∞ で 頂角→0。すなわち、 底辺の長さ 2sin((1/2)(全円の中心角/n))→0
で底辺の両端点が中点 M に接近する。
他方、線分 OM の大きさは cos((1/2)(全円の中心角/n))→1 となり、全二等辺
三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち単
位円 O の半径 1 に近づく。
ここで、円のあらゆる大きさの中心角の集合は、実数による或る大きさを持った閉区
間である。しかして n→∞(a→∞) のとき、中点の集合 ｛M(n)｝ と O の周
りの各角度の集合｛Θ(n)｝ は極限で、幾何学的に見て全単射かつ連続写像となる
から ｛M(n)｝ は連続、かつ ｛M(n)｝ の全ての元は円 O の中心から等距離
であり、その集合は定義により円である。
然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径の大きさと等しいから、内接正 n
角形の極限としての円は元の単位円に相等しい。
このとき円の周長は、多角形の辺の総和の極限であるから、中心 O を頂点とする
一つの二等辺三角形の斜辺（円の半径）の大きさに比例することが判る。よって、円
の周長と直径の比は一定である。しかして、
定義： 円周／直径=π （ 一定 ） から、単位円について 円周=π*直径=2π。ま
た、弧度法の定義から全円の中心角は 2π（ ラジアン ） となる。
いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n))
=2π(sin(π/n))/(π/n)
→2π（ 円周 ） （ n→∞ ）
したがって、 (sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞)
すなわち、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n) (n∈N) → 1 (n→∞)
ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0＜x∈R) を考える。
0＜u(x)→0 で cos(u(x))＜1, (sin(u(x)))/u(x)＜1 などから、 x→∞ で分母
子の平均変化率は常に、
分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x))
=
(-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin(((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+
h))))
≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率
よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x)
の減少の傾向より緩やかであることが判る。
ゆえに、 f(x) は単調に増加する。
しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。
このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、
任意の ε＞0 に対して
n≧n[0] ⇒ 1 - f(n)＜ε
となる n[0] = n[0](ε) が存在する(f の単調性から、 1≧f(n) となることに注意
する)。
この n[0] に対して x＞n[0] ならば、
1 - f(x)= {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)}
＜1 - f(n[0])
＜ε
となるので、f(x) は x→+∞ で収束し、 lim[x→+∞]f(x) = 1
ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 （Θ：ラジアン）
（ 終 ）
これで再度御検討願います。
お便り２００７／７／１５
from=S~（社会人）
（ 証 ）
定義： 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集
合である。
さて、単位円の内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、
n→∞ で 頂角→0。すなわち、 底辺の長さ 2sin((1/2)(全円の中心角/n))→0
で底辺の両端点が中点 M に接近する。
他方、線分 OM の大きさは cos((1/2)(全円の中心角/n))→1 となり、全二等辺
三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち単
位円 O の半径 1 に近づく。
ここで、円のあらゆる大きさの中心角の集合は、実数による或る大きさを持った閉区
間である。しかして n→∞(a→∞) のとき、中点の集合 ｛M(n)｝ と O の周
りの各角度の集合｛Θ(n)｝ は極限で、幾何学的に見て全単射かつ連続写像となる
から ｛M(n)｝ は連続、かつ ｛M(n)｝ の全ての元は円 O の中心から等距離
であり、その集合は定義により円である。
然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径の大きさと等しいから、内接正 n
角形の極限としての円は元の単位円に相等しい。
このとき円の周長は、多角形の辺の総和の極限であるから、中心 O を頂点とする
一つの二等辺三角形の斜辺（円の半径）の大きさに比例することが判る。よって、円
の周長と直径の比は一定である。しかして、
定義： 円周／直径=π （ 一定 ） から、単位円について 円周=π*直径=2π。ま
た、弧度法の定義から全円の中心角は 2π（ ラジアン ） となる。
いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n))
=2π(sin(π/n))/(π/n)
→2π（ 円周 ） （ n→∞ ）
したがって、 (sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞)
すなわち、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n) (n∈N) → 1 (n→∞)
ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0＜x∈R) を考える。
0＜u(x)→0 で cos(u(x))＜1, (sin(u(x)))/u(x)＜1 などから、 x→∞ で分母
子の平均変化率は常に、
分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x))
=
(-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin(((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+
h))))
≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率
よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x)
の減少の傾向より緩やかであることが判る。
ゆえに、 f(x) は単調に増加する。
しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。
このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、任意の ε＞0 に対して、
n≧n[0] ⇒ 0≦1 - f(n)＜ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する。しかして、
f の単調性から 1≧f(n)、したがって 1≧f(x) となることに注意すると、こ
の n[0] に対して x＞n[0] ならば、
0≦1 - f(x)
= {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)}
＜1 - f(n[0])
＜ε
となるので、f(x) は x→+∞ で収束し、 lim[x→+∞]f(x) = 1
ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 （Θ：ラジアン）
（ 終 ）
何度も相済みません。敬白 S~（社会人）
お便り２００７／８／５
from=S~（社会人）
総入れ替えして下さい。
（ 証 ）
定義： 円とは同一平面上において、当該平面上の或る一点から等距離に在る点の集
合である。
さて、単位円の内接正 n 角形の一辺と円の中心 O とがなす二等辺三角形は、
n→∞ で 頂角→0。すなわち、 底辺の長さ 2sin((1/2)(全円の中心角/n))→0
で底辺の両端点が中点 M に接近する。
他方、線分 OM の大きさは cos((1/2)(全円の中心角/n))→1 となり、全二等辺
三角形合同で同一のうちに、両等辺に挟まれながら両等辺と同等の長さ、すなわち単
位円 O の半径 1 に近づく。
ここで、円のあらゆる大きさの中心角の集合は、実数による或る大きさを持った閉区
間である。しかして n→∞(a→∞) のとき、中点の集合 ｛M(n)｝ と O の周
りの各角度の集合｛Θ(n)｝ は極限で、幾何学的に見て全単射かつ連続写像となる
から ｛M(n)｝ は連続、かつ ｛M(n)｝ の全ての元は円 O の中心から等距離
であり、その集合は定義により円である。
然るとき、線分 OM の大きさは円 O の半径の大きさと等しいから、内接正 n
角形の極限としての円は元の単位円に相等しい。
このとき円の周長は、多角形の辺の総和の極限であるから、中心 O を頂点とする
一つの二等辺三角形の斜辺（円の半径）の大きさに比例することが判る。よって、円
の周長と直径の比は一定である。しかして、
定義： 円周／直径=π （ 一定 ） から、単位円について 円周=π*直径=2π。ま
た、弧度法の定義から全円の中心角は 2π（ ラジアン ） となる。
いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n))
=2π(sin(π/n))/(π/n)
→2π（ 円周 ） （ n→∞ ）
したがって、 (sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞)
すなわち、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n) (n∈N) → 1 (n→∞)
ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0＜x∈R) を考える。
0＜u(x)→0 で 0＜cos(u(x))＜1, 0＜(sin(u(x)))/u(x)＜1 などから、 x→∞
で f(x) の分母子の平均変化率は常に、
分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x))
=
(-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+h
))))
≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率
よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x)
の減少の傾向より緩やかであることが判る。
ゆえに、 f(x) は単調に増加する。
しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。
このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、任意の ε＞0 に対して、
n≧n[0] ⇒ 0≦1 - f(n)＜ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する。しかして、
f の単調性から 1≧f(n)、したがって 1≧f(x) となることに注意すると、こ
の n[0] に対して x＞n[0] ならば、
0≦1 - f(x)
= {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)}
＜1 - f(n[0])
＜ε
となるので、f(x) は x→+∞ で収束し、 lim[x→+∞]f(x) = 1
ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 （Θ：ラジアン）
（ 終 ）
お便り２００７／９／２８
from=cqzypx
お便り２００７／９／３０
from=S~（社会人）
応答を感謝致します。
趣旨は解りました。ただ、前回の僕の書き込みなのですが…
単位円の中心 Ｏ を頂点、内接正 ｎ 角形の一辺を底辺とする二等辺三角形の中点 Ｍ の
集合 {Ｍ（ｎ）} が、 ｎ→∞ の極限で連続 （←極限で集合 {Ｍ（ｎ）} は点 Ｏ の
周りの連続な全ての角度と全単射でしかも連続写像となっている。
ここで、「 したがって底辺の両端点も中点とともに連続である 」、を追加してください）
かつ点 Ｏ から等距離 （単位円の半径に等しい ← 両端点と連続） であることを述べれば、
これは単位円に一致、すなわち内接正 ｎ 角形の極限の辺の総和が単位円の周長に等しいと
言えていることにならないでしょうか。
お便り２００７／１０／３
from=S~（社会人）
スレッドについての新しい書き込みです。反省点を加味したものです。
したがって、次の証明法で再評価をお願い致します。
（ 証 ）
まず以下により、或る円の内接正ｎ角形（ｎ＝２＾Ｎ，Ｎ＝２，３，…）の辺の長さ
の総和は ｎ→∞ の極限で、その円の周の長さに等しい。
（１） 円の内接正ｎ角形の辺の長さの総和 S(n) はすべてについて円周の長さ
L∈Ｒ よりも小さい。
（２） ここに、 S(n) は単調に増加して上限があるから収束して、 ｌｉｍ[ｎ
→∞]Ｓ（ｎ）＝α （Ｒ∋α≦Ｌ） なる或る値が存在する。
（３） いま、 α＜Ｌ とすると実数の稠密性から α＜ｘ＜Ｌ なる ｘ∈Ｒ
が存在するが、これは極限の内接正ｎ角形と円との間に間隙が存在することを意味す
る。
（４） しかすれば、無限大より大なる ｎ（ｘ）∈｛ｎ｝ を許容することになり
矛盾である。ゆえに、 α＝Ｌ
このとき円の周長は、内接正ｎ角形の辺の総和の極限であるから、中心 O を頂点
とする一つの二等辺三角形の斜辺（円の半径）の大きさに比例することが判る。よっ
て、円の周長と直径の比は一定である。
しかして、 定義： 円周／直径=π （ 一定 ） から、単位円について 円周=π*直
径=2π。
したがって、弧度法の定義から全円の中心角は 2π（ ラジアン ） となる。
いま、単位円の内接正 n 角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n))
=2π(sin(π/n))/(π/n)
→2π（ 円周 ） （ n→∞ ）
したがって、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞)
ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0＜x∈R) を考える。
0＜u(x)→0 で 0＜cos(u(x))＜1, 0＜(sin(u(x)))/u(x)＜1 などから、 x→∞
で f(x) の分母子の平均変化率は常に、
分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x))
=
(-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+h
))))
≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率
よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x)
の減少の傾向より緩やかであることが判る。
ゆえに、 f(x) は単調に増加する。
しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。
このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、任意の ε＞0 に対して、
n≧n[0] ⇒ 0≦1 - f(n)＜ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する。しかして、
f の単調性から 1≧f(n)、したがって 1≧f(x) となることに注意すると、こ
の n[0] に対して x＞n[0] ならば、
0≦1 - f(x)
= {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)}
＜1 - f(n[0])
＜ε
となるので、f(x) は x→∞ で収束し、 lim[x→∞]f(x) = 1
ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 （Θ：ラジアン）
（ 終 ）
お便り２００７／１１／１
from=S~（社会人）
（ 証 ）
まず次から、或る円の内接正ｎ角形(n=2^N, N=2,3,…)の辺の長さの総和は ｎ→∞
の極限で、その円の周の長さに等しい。
（１） 内接正n角形の辺の長さの総和 S(n) はすべてについて円周の長さ L∈Ｒ
よりも小さい。
（２） ここに、 S(n) は単調増加であり、またその円の周の長さを越えないから
上界が存在して、或る値 α∈R に収束する。すなわち、 ｌｉｍ[ｎ→∞]Ｓ
（ｎ）＝α である。
（３） したがって、任意の ε＞０ に対して或る ｎ（０） が在って、 ｎ≧
ｎ（０） なる全ての ｎ について、 ｜S(n)－α｜＜ε。
（４） いま、 α≦L であるから、 ｜S(n)-L|≦｜S（n）－L+（L-α）｜＝｜
S(n)-α｜＜ε となり ｌｉｍ［ｎ→∞］Ｓ（ｎ）＝Ｌ である。
しかして、円の周長は内接正ｎ角形の辺の長さの総和の極限であって、或る二つの円
についてみると、同じ形の内接正n角形は相似であるから、それぞれの辺の長さの総
和は、それぞれの円の中心 O を頂点、或る一辺を底辺とする一つの二等辺三角形
の斜辺（円の半径）の大きさに比例することが判る。すなわち、円の周長と直径の比
は一定である。
よって、 定義： 円周／直径=π （ 一定 ） から、単位円について 円周=π*直径
=2π。
したがって、弧度法の定義から全円の中心角は 2π（ ラジアン ） となる。
いま、単位円の内接正n角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n))
=2π(sin(π/n))/(π/n)
→2π（ 円周 ） （ n→∞ ）
したがって、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞)
ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0＜x∈R) を考える。
0＜u(x)→0 で 0＜cos(u(x))＜1, 0＜(sin(u(x)))/u(x)＜1 などから、 x→∞
で f(x) の分母子の平均変化率は常に、
分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x))
=
(-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+h
))))
≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率
よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x)
の減少の傾向より緩やかであることが判る。
ゆえに、 f(x) は単調に増加する。
しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。
このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、任意の ε＞0 に対して、
n≧n[0] ⇒ 0≦1 - f(n)＜ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する。しかして、
f の単調性から 1≧f(n)、したがって 1≧f(x) となることに注意すると、こ
の n[0] に対して x＞n[0] ならば、
0≦1 - f(x)
= {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)}
＜1 - f(n[0])
＜ε
となるので、f(x) は x→∞ で収束し、 lim[x→∞]f(x) = 1
ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 （Θ：ラジアン）
（ 終 ）
お便り２００７／１２／６
from=S~（社会人）
こんにちは、お世話になります。質問＜３５３１＞２００７／４／１４～５／８
from=S~ 「 lim_[θ→0](sinθ)/θ=1 の証明のトライアル 」 の前の方をまた考
え直して見ましたので、次を掲載して下さいませんか。
証明の前の方の部分を一部改訂致しました。次のものを御検討下さい。
（ 証 ）
まず次から、或る円の内接正ｎ角形(n=2^N, N=2,3,…)の辺の長さの総和は ｎ→∞
の極限で、その円の周の長さに等しい．
（１） 或る円の内接正n角形の辺の長さの総和 S(n) は、n角形の作図が円の内部
に止まるから、すべての S(n) について、その円の外接正方形の周の長さよりも小さ
い．
（２） ここに、 S(n) は単調増加であり、また （１） から上界が存在するか
ら、或る値 α∈R に収束する．すなわち、 ｌｉｍ[ｎ→∞]Ｓ（ｎ）＝α であ
る．
（３） したがって、任意の ε＞０ に対して或る ｎ（０） が存在して、 ｎ
≧ｎ（０） なるすべての ｎ について、 ｜S(n)－α｜＜ε．
（４） いま、円の周長を L とすると、
（イ） α≦L の場合、 ｜S(n)-L|≦｜S（n）－L+（L-α）｜＝｜S(n)-α｜＜ε
となり ｌｉｍ［ｎ→∞］Ｓ（ｎ）＝Ｌ である．
（ロ） α＞L の場合、 ｜L－S(n)｜＜｜L－S(n)＋（α－L）｜＝｜α－S(n)｜
＜ε となり lim[n→∞]S(n)＝L である．
したがって、いずれにしても lim[n→∞]S(n)＝L
しかして、円の周長は内接正ｎ角形の辺の長さの総和の極限であって、或る二つの円
についてみると、同じ形の内接正n角形は相似であるから、それぞれの辺の長さの総
和は、それぞれの円の中心 O を頂点、或る一辺を底辺とする一つの二等辺三角形
の斜辺（円の半径）の大きさに比例することが判る。すなわち、円の周長と直径の比
は一定である。
よって、 定義： 円周／直径=π （ 一定 ） から、単位円について 円周=π*直径
=2π。
したがって、弧度法の定義から全円の中心角は 2π（ ラジアン ） となる。
いま、単位円の内接正n角形の辺の総和=n*2sin((1/2)(2π/n))
=2π(sin(π/n))/(π/n)
→2π（ 円周 ） （ n→∞ ）
したがって、 f(n)=(sin(π/n))/(π/n)→1 ( n→∞)
ここで、 f(x)=g(x)/h(x)=(sin(π/x))/(π/x) (0＜x∈R) を考える。
0＜u(x)→0 で 0＜cos(u(x))＜1, 0＜(sin(u(x)))/u(x)＜1 などから、 x→∞
で f(x) の分母子の平均変化率は常に、
分子の平均変化率=(1/h)(sin(π/(x+h))-sin(π/x))
=
(-π/(x(x+h)))cos((π/2)(2x+h)/(x(x+h)))sin((h/2)(π/(x(x+h))))/((h/2)(π/(x(x+h
))))
≧-π/(x(x+h))=分母の平均変化率
よって、 g(x), h(x) はともに単調減少関数で、 g(x) の減少の傾向は h(x)
の減少の傾向より緩やかであることが判る。
ゆえに、 f(x) は単調に増加する。
しかして、それに従って f(n) も単調に増加する。
このとき、先に述べた lim[n→∞]f(n)=1 の収束性から、任意の ε＞0 に対して、
n≧n[0] ⇒ 0≦1 - f(n)＜ε となる n[0] = n[0](ε) が存在する。しかして、
f の漸増性から 1≧f(n)、したがって 1≧f(x) となることに注意すると、こ
の n[0] に対して x＞n[0] ならば、
0≦1 - f(x)
= {1 - f(n[0])} + {f(n[0]) - f(x)}
＜1 - f(n[0])
＜ε
となるので、f(x) は x→∞ で収束し、 lim[x→∞]f(x) = 1
ゆえに、 lim[Θ→0](sin(Θ))/Θ=1 （Θ：ラジアン）
（ 終 ）
お便り２００８／２／２８
from=cqzypx
お便り２００８／２／２９
from=S~（社会人）
ｃｑｚｙｐｘ さん、お便り有難う御座います。 「 ある円の内接正ｎ角形の周長は、その円の外接正方形の周長以下である 」に付き ましては、 いま、便宜のため正方形の上半分に内接する半円とその半円の内接正ｎ角形（半分の 形）を考える． 半分の正方形の底辺をＡＢ、上辺をＡ'Ｂ'、内接正ｎ角形の各頂点を Ａ，Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ－１，Ｃｎ（＝Ｂ）、ＡＣ１の延長とＡ'Ｂ'との交点を Ｄ１、Ｃ１Ｃ２の延長とＡ'Ｂ'との交点をＤ２、…、ＣｉＣｉ＋１の延長とＡ'Ｂ'と の交点をＤｉ＋１、…、Ｃｎ－２Ｃｎ－１の延長とＢ'Ｂとの交点をＤｎ－１、 Ｃｎ＝Ｄｎ＝Ｂとする． 定理「 三角形の２辺の和は他の１辺の長さより大である 」は既知とすると、 ＡＡ'＋Ａ'Ｄ１＞ＡＤ１＝ＡＣ１＋Ｃ１Ｄ１ Ｃ１Ｄ１＋Ｄ１Ｄ２＞Ｃ１Ｄ２＝Ｃ１Ｃ２＋Ｃ２Ｄ２ Ｃ２Ｄ２＋Ｄ２Ｄ３＞Ｃ２Ｄ３＝Ｃ２Ｃ３＋Ｃ３Ｄ３ … …ＣｉＤｉ＋１のＤｉ＋１がＢ'を越えるところで… ＣｉＤｉ＋ＤｉＢ'＋Ｂ'Ｄｉ＋１＞ＣｉＤｉ＋１＝ＣｉＣｉ＋１＋Ｃｉ＋１Ｄｉ＋１ … Ｃｎ－２Ｄｎ－２＋Ｄｎ－２Ｄｎ－１＞Ｃｎ－２Ｄｎ－１＝Ｃｎ－２Ｃｎ－１＋Ｃｎ－１Ｄｎ－１ Ｃｎ－１Ｄｎ－１＋Ｄｎ－１Ｄｎ（Ｂ）＞Ｃｎ－１Ｃｎ 上の辺々の最端辺を加えて整理すると、 ＡＡ'＋Ａ'Ｄ１＋Ｄ１Ｄ２＋Ｄ２Ｄ３＋…＋ＤｉＤｉ＋１＋ …＋Ｄｎ－２Ｄｎ－１＋Ｄｎ－１Ｄｎ（Ｂ） ＞ＡＣ１＋Ｃ１Ｃ２＋Ｃ２Ｃ３＋…＋ＣｉＣｉ＋１＋ …＋Ｃｎ－２Ｃｎ－１＋Ｃｎ－１Ｃｎ（Ｂ） 外接正方形の上半分の周長＞半分の内接正ｎ角形の周長 となると考えたのです。
お便り２００８／３／１２
from=soredeha
（ｓｉｎ（π／ｎ））／（π／ｎ）→１ を仮定すれば ｌｉｍ［Θ→０］（ｓｉｎ（Θ））／Θ＝１ は、証明可能。 π／（ｎ＋１）＜θ≦π／ｎ を満たす自然数 ｎ をとればよい。 以下を参照サレタシ。 http://www.chart.co.jp/subject/sugaku/tsusin/58/58-3.pdf
お便り２００８／３／１４
from=S~（社会人）
お便り２００８／２／２９ from=S~（社会人） に掲示していただきました分の一部 訂正です。 「 いま、便宜のため正方形の上半分に内接する半円とその半円の内接正ｎ角形（半 分の形）を考える． 」は、 「 いま、便宜のため正方形に内接する正 2n( n=2^(N-1), N=2,3,… )角形の上半分 を考える． 」と、訂正致します。 soredeha さん、参考サイトの御紹介を有難う御座います。今後とも宜しくお願い致 します。
