質問<3604>2007/9/12
写像f:R^2→R^2,f(x,y)=(ax+by,cx+dy)が逆写像を持つための必要十分条件を求めよ。 ただし,a,b,c,d∈Rとする。 という問題で、過去にも同じ質問があり、質問3308番を参照させて頂いたのですが、 「f が全射ならば ad-bc≠0 であり,このことから f が単射であることまで導ける。」 について、「f が全射ならば ad-bc≠0 であり」まではわかるのですが、 そのことから、「f が単射であることまで導ける。」というのが、今ひとつ納得 できません。 なぜ、「f が単射であることまで導ける。」のか教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2007/9/13
from=UnderBird
お便り2007/9/14
from=マサヤン
質問<3604>をしましたマサヤンです。 UnderBirdさんからのお答えを読ませて頂きました。 「f が全射ならば ad-bc≠0 であり、そのことから、f が単射であることまで導ける。」 というのは、わかりましたが、そういう証明をした場合、 fが全射であることを仮定しているから、fが単射であることを 導けているわけですよね。 だから、 「f が単射ならば ad-bc≠0 であり、そのことから、f が全射であることまで導ける。」 という証明まで加えないと、 「写像f:R^2→R^2,f(x,y)=(ax+by,cx+dy)が逆写像を持つための必要十分条件を 求めよ。ただし,a,b,c,d∈Rとする。」 という問題は解決しないと思うのですが、その点はどうでしょうか??
お便り2007/9/18
from=UnderBird
上記の質問に対する部分の回答であり、 マサヤンさんの言われるとおり、逆向きの証明も必要です。
お便り2007/9/19
from=マサヤン
質問文:写像f:R^2→R^2,f(x,y)=(ax+by,cx+dy)が逆写像を持つための必要十分 条件を求めよ。ただし,a,b,c,d∈Rとする。 という問題で、 「ad-bc≠0 ⇒ fは全射」、「ad-bc≠0 ⇒ fは単射」はわかりましたが、 「fが全単射 ⇒ ad-bc≠0」を示すのに、行き詰まっています。 方針としては、対偶「ad-bc=0⇒全射ではないまたは、単射ではない」が真で あることを示して、元の命題が真であること示すという方針です。 そこで、「ad-bc=0⇒全射ではない」が示せれば、 「ad-bc=0⇒全射ではないまたは、単射ではない」が真であることになるので、 「ad-bc=0⇒全射ではない」を示そうとしたのですが、どうも行き詰まってしまいます。 また、このサイトで、下記の証明を見つけたのですが、今ひとつ納得ができません。 どなたかわかる方、アドバイスをいただけないでしょうか。 証明 「全射⇒ad-bc≠0」の対偶、「ad-bc=0⇒全射ではない」を示します。 ad-bc=0 の時、bc=adより b(cx+dy)=bcx+bdy=adx+bdy=d(ax+by) a≠0 or b≠0 の時 f(x,y)=(X,Y)に対し、(X,Y)は、XY平面内の、方程式 bY=aXの示す直線上 に存在する。 a=b=0 の時 f(x,y)=(X,Y)に対し X=ax+by=0 より、(X,Y)は、XY平面内の 直線 X=0 上 に存在する。 いずれにせよ、明らかに値域が R^2(XY平面全体)と異なるため、fは全射ではない。 よろしくお願いします。
お便り2007/9/27
from=cqzypx
お便り2007/9/28
from=マサヤン
cqzypxさん 「ad-bc=0 ⇒ fは単射ではない」の説明ありがとうございました。 「ad-bc=0 ⇒ fは単射ではない」については、よくわかったのですが、 どうしても、以下の証明を理解したいのです。 特にひっかかっているのは、 「b(cx+dy)=bcx+bdy=adx+bdy=d(ax+by) a≠0 or b≠0 の時 f(x,y)=(X,Y)に対し、 (X,Y)は、XY平面内の、方程式 bY=aXの示す直線上に存在する。」 の部分です。よろしくお願いします。 証明 「全射⇒ad-bc≠0」の対偶、「ad-bc=0⇒全射ではない」を示します。 ad-bc=0 の時、bc=adより b(cx+dy)=bcx+bdy=adx+bdy=d(ax+by) a≠0 or b≠0 の時 f(x,y)=(X,Y)に対し、(X,Y)は、XY平面内の、方程式 bY=aXの示す直線上 に存在する。 a=b=0 の時 f(x,y)=(X,Y)に対し X=ax+by=0 より、(X,Y)は、XY平面内の 直線 X=0 上 に存在する。 いずれにせよ、明らかに値域が R^2(XY平面全体)と異なるため、fは全射ではない。 よろしくお願いします。