質問

写像f:R^2→R^2，f(x，y)=(ax+by，cx+dy)が逆写像を持つための必要十分条件を求めよ。
ただし，a，b，c，d∈Rとする。

という問題で、過去にも同じ質問があり、質問3308番を参照させて頂いたのですが、
「f が全射ならば ad-bc≠0 であり，このことから f が単射であることまで導ける。」
 について、「f が全射ならば ad-bc≠0 であり」まではわかるのですが、
そのことから、「f が単射であることまで導ける。」というのが、今ひとつ納得
できません。
なぜ、「f が単射であることまで導ける。」のか教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００７／９／１３
from=UnderBird

お便り２００７／９／１４
from=マサヤン

質問＜３６０４＞をしましたマサヤンです。
UnderBirdさんからのお答えを読ませて頂きました。
「f が全射ならば ad-bc≠0 であり、そのことから、f が単射であることまで導ける。」
というのは、わかりましたが、そういう証明をした場合、
fが全射であることを仮定しているから、fが単射であることを
導けているわけですよね。
だから、
「f が単射ならば ad-bc≠0 であり、そのことから、f が全射であることまで導ける。」
という証明まで加えないと、
「写像f:R^2→R^2，f(x，y)=(ax+by，cx+dy)が逆写像を持つための必要十分条件を
求めよ。ただし，a，b，c，d∈Rとする。」
という問題は解決しないと思うのですが、その点はどうでしょうか？？

お便り２００７／９／１８
from=UnderBird

上記の質問に対する部分の回答であり、
マサヤンさんの言われるとおり、逆向きの証明も必要です。

お便り２００７／９／１９
from=マサヤン

質問文：写像f:R^2→R^2，f(x，y)=(ax+by，cx+dy)が逆写像を持つための必要十分
　　　　条件を求めよ。ただし，a，b，c，d∈Rとする。

という問題で、
  「ad-bc≠0 ⇒ fは全射」、「ad-bc≠0 ⇒ fは単射」はわかりましたが、
  「fが全単射 ⇒ ad-bc≠0」を示すのに、行き詰まっています。

  方針としては、対偶「ad-bc=0⇒全射ではないまたは、単射ではない」が真で
  あることを示して、元の命題が真であること示すという方針です。
  そこで、「ad-bc=0⇒全射ではない」が示せれば、
  「ad-bc=0⇒全射ではないまたは、単射ではない」が真であることになるので、
  「ad-bc=0⇒全射ではない」を示そうとしたのですが、どうも行き詰まってしまいます。
   
  また、このサイトで、下記の証明を見つけたのですが、今ひとつ納得ができません。
  どなたかわかる方、アドバイスをいただけないでしょうか。

  証明
  　「全射⇒ad-bc≠0」の対偶、「ad-bc=0⇒全射ではない」を示します。
　ad-bc=0 の時、bc=adより
　　b(cx+dy)=bcx+bdy=adx+bdy=d(ax+by)
　a≠0 or b≠0 の時
　　f(x,y)=(X,Y)に対し、(X,Y)は、XY平面内の、方程式 bY=aXの示す直線上
　　に存在する。
　a=b=0 の時
　　f(x,y)=(X,Y)に対し　X=ax+by=0　より、（X,Y)は、XY平面内の 直線 X=0 上
　　に存在する。

　いずれにせよ、明らかに値域が R^2(XY平面全体)と異なるため、fは全射ではない。

  よろしくお願いします。

お便り２００７／９／２７
from=cqzypx

お便り２００７／９／２８
from=マサヤン

cqzypxさん

「ad-bc=0 ⇒ fは単射ではない」の説明ありがとうございました。
「ad-bc=0 ⇒ fは単射ではない」については、よくわかったのですが、
どうしても、以下の証明を理解したいのです。  特にひっかかっているのは、

「b(cx+dy)=bcx+bdy=adx+bdy=d(ax+by)  
　a≠0 or b≠0 の時  　　f(x,y)=(X,Y)に対し、
　(X,Y)は、XY平面内の、方程式 bY=aXの示す直線上に存在する。」  

　の部分です。よろしくお願いします。

  証明    　「全射⇒ad-bc≠0」の対偶、「ad-bc=0⇒全射ではない」を示します。  
　ad-bc=0 の時、bc=adより  　　b(cx+dy)=bcx+bdy=adx+bdy=d(ax+by)  　a≠0 or b≠0 の時  
　f(x,y)=(X,Y)に対し、(X,Y)は、XY平面内の、方程式 bY=aXの示す直線上  に存在する。  
　a=b=0 の時 　　f(x,y)=(X,Y)に対し　X=ax+by=0　より、（X,Y)は、XY平面内の 直線 X=0 上  
　に存在する。    
　いずれにせよ、明らかに値域が R^2(XY平面全体)と異なるため、fは全射ではない。

よろしくお願いします。