質問＜３３０８＞2006/7/15
from=数学は奥が深い
「写像」

写像f:R^2→R^2，f(x，y)=(ax+by，cx+dy)が逆写像を持つための必要十分条件を求めよ。
ただし，a，b，c，d∈Rとする。
答えad-bc≠0を求める導き方を教えていただきたいのですが，よろしくお願い致します。

★完全解答希望★

お便り２００６／８／１
from=wakky

写像ｆは一次変換で
ｆを表す行列は
｜ａｂ｜
｜ｃｄ｜
ｆが逆写像を持つための必要十分条件は
この行列が逆行列をもつことだから
ａｄ－ｂｃ≠０

これではダメなのかなぁ？

お便り２００６／８／１１
from=KINO

2次の正方行列が逆行列をもつことの必要十分条件が行列式が 0 でないこと，
及び逆行列をもつこととその行列で表される線形写像が逆写像をもつこととが
同値であることを示せ
という問題ともとれますので，

wakky さんの御回答では証明すべき内容を用いて証明するという循環推論の誤謬を
犯しているととられかねず，マズいと思います。
まあその辺はもちろん質問者の方が指示すべき内容だとは思われますが。

なお，質問2404は本問と実質同じ問題です。

写像 f が逆写像をもつということは，写像 f が全単射であることと同じことだからです。
この問題に対する juin さんの御回答をお読み下さい。

以下は juin さんの御回答に対する蛇足です。

＞(1)ad-bc≠0ならば、全射である。同時に単射でもある。

単射でもある理由は，解 (x,y) の書き表し方が 1 通りだからです。

＞(2)全射ならば、ad-bc≠0である。また、単射でもある。

この部分はもう少し説明が必要な気がします。

f が全射であるとき，f(x,y)=(1,0) の解が必ずあります。
つまり，ax+by=1，cx+dy=0 の解があります。
それを x1，y1 とおきます。
これは juin さんの御回答で s=1, t=0 の場合に相当しますので，(ad-bc)x1=d となります。
これから，d≠0 であれば，ad-bc≠0 でなければならないことがわかります。

一方，d=0 のとき，f(x1,y1)=(1,0) なので，特に ax1+by1=1 となります。
さて，f(x,y)=(0,1) の解を x2，y2 とおきます。
これは特に cx2=1 をみたすことを意味するので，c≠0 です。よって cx1=0 より x1=0 となります。
これを ax1+by1=1 に代入すると，by1=1 となり，特に b≠0 を得ます。
つまり，d＝0 のとき，b≠0 かつ c≠0 であることがわかりました。
というわけで，ad-bc=-bc≠0 となり，これでようやく

f が全射ならば ad-bc≠0 である

ことがわかりました。

まとめると，

(i) ad-bc≠0 ならば f は全単射。
(ii) f が全射ならば ad-bc≠0 であり，このことから f が単射であることまで導ける。

ということがわかりました。
f が逆写像を持つならば f は全単射で，それならばもちろん f は全射ですから，
(ii) から ad-bc≠0 がわかります。

ついでながら，(ii) の代わりに

(iii) f が単射ならば ad-bc≠0 （で，したがって f は全射）である

ことも示せます。

まず，f が単射で (d,-c)≠(-b,a) のとき，

f(d,-c)=(ad-bc,0)≠(0,ad-bc)=f(-b,a)

より ad-bc≠0 となります。

一方，f が単射のときは (d,-c)＝(-b,a) とはなりえません。
もしこれが成り立つとすると，ad-bc=0 より

f(d,-c)=f(-b,a)=(0,0)=f(0,0)

より，f が単射なので (d,-c)=(-b,a)=(0,0) となり，
これは a=b=c=d=0 を意味し，どんな (x,y) に対しても常に f(x,y)=(0,0) と
なってしまい，f が単射であることに反するからです。