質問<3705>2008/4/8
[1] a>1 のとき lim[n→∞] a^(1/n)=1 を示せ。 [2] 0<a<1 のとき lim[n→∞] a^(1/n)=1 を示せ。 上記の問題を教えて下さい。宜しくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2008/4/21
from=UnderBird
お便り2008/4/21
from=平 昭
こんにちは。小豆さんは高校生でしょうか。 次々と質問を出されていますが、学校の宿題か何かかな? 問題集(解答の詳しいもの)か、参考書の良いものを入手することを お勧めします。そして、解答がどんな論理で書かれているか、自分で納得するまで 読み返しましょう。力がつくはずです。 私が昔お世話になったのは雑誌「大学への数学」の増刊で「解法の探求」という本 でした。多分、今もあるでしょう。他にも良い本は多いでしょうから、数学の得意な 友達に聞くなどして、探してみて下さい。 さて、これは指数関数の極限の基本のような問題ですね。 どうして a^0=1 と定義するか、という理由ともいえます。 回答に入ります。なお、nは任意の自然数とします。 [1] a>1 のとき a^(1/n)=1+hと置く。a>1 よりh>0である。 (ここで「nが大きくなったらhは0に近づくことを示す必要がある。 nの関数で、hよりは大きいけれど、nが大きくなったら0に近づくものを持ってきて、 不等式に持ち込もう」という発想で考えます。 こういう発想を、自力で思いつくのは難しい。問題をいくつか解いて覚えるのがよいでしょう。) 両辺をn乗して a=(1+h)^n=1+nh+n(n-1)h^2/2+、、、h^n>1+nh (この右側の不等式が肝心です。多項式のn乗の大きさを、最初の2項でぶった切って 評価する、というやり方で、粗い評価ですが時々出てくる手法です。) だから、まとめると 0<h<(a-1)/n となる。ここで、n→∞の時{(a-1)/n}→0だから 挟みうちの原理により n→∞でh→0となる。 これは、n→∞で a^(1/n)=(1+h)→1を意味する。 [2] 0<a<1 のとき a=1/bと置くと、b>1であり、[1]の結論より n→∞でb^(1/n)→1である。 そして、a^(1/n)=(1/b)^(1/n)=1/b^(1/n)だから、 結局、n→∞の時、a^(1/n)→1