質問

［１］　ａ＞１ のとき　ｌｉｍ［ｎ→∞］　ａ＾（１／ｎ）＝１　を示せ。

［２］　０＜ａ＜１　のとき　ｌｉｍ［ｎ→∞］　ａ＾（１／ｎ）＝１　を示せ。

上記の問題を教えて下さい。宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００８／４／２１
from=UnderBird

お便り２００８／４／２１
from=平　昭

　こんにちは。小豆さんは高校生でしょうか。
次々と質問を出されていますが、学校の宿題か何かかな？
　問題集（解答の詳しいもの）か、参考書の良いものを入手することを
お勧めします。そして、解答がどんな論理で書かれているか、自分で納得するまで
読み返しましょう。力がつくはずです。
　私が昔お世話になったのは雑誌「大学への数学」の増刊で「解法の探求」という本
でした。多分、今もあるでしょう。他にも良い本は多いでしょうから、数学の得意な
友達に聞くなどして、探してみて下さい。

　さて、これは指数関数の極限の基本のような問題ですね。
どうして　a^0＝１　と定義するか、という理由ともいえます。

　回答に入ります。なお、nは任意の自然数とします。


［１］　ａ＞１ のとき
a^(1/n)＝１＋ｈと置く。ａ＞１ よりｈ＞０である。

（ここで「ｎが大きくなったらｈは０に近づくことを示す必要がある。
ｎの関数で、ｈよりは大きいけれど、ｎが大きくなったら０に近づくものを持ってきて、
不等式に持ち込もう」という発想で考えます。
こういう発想を、自力で思いつくのは難しい。問題をいくつか解いて覚えるのがよいでしょう。）

両辺をｎ乗して
ａ＝(1+h)^n＝１＋ｎｈ＋n(n-1)h^2/2+、、、h^n＞1+nh　

（この右側の不等式が肝心です。多項式のｎ乗の大きさを、最初の２項でぶった切って
評価する、というやり方で、粗い評価ですが時々出てくる手法です。）

だから、まとめると　
　０＜ｈ＜(a-1)/n　
となる。ここで、ｎ→∞の時｛(a-1)/n｝→０だから
挟みうちの原理により
ｎ→∞でｈ→０となる。
これは、ｎ→∞で　a^(1/n)＝(１＋ｈ）→１を意味する。


［２］　０＜ａ＜１　のとき

ａ＝1/bと置くと、ｂ＞１であり、［１］の結論より
ｎ→∞でｂ^(1/n)→１である。
そして、a^(1/n)＝(1/b)^(1/n)＝１/b^(1/n)だから、

結局、ｎ→∞の時、a^(1/n)→１