質問

⊿ABCの傍接円のうち、 
∠A(内角)の2等分線上に中心を持つ円の中心をIa.半径をRa.とし同様に 
Ib.Ic.Rb.Rcを定める。 
Ia(1.0).Ib(-1.0),Ic(α.1) (αは0＜α＜1を満たす定数)のとき 
(1)∠IaCIcを求めよ。またRa:Rbをαであらわせ。 
(2)Ra:Rcをαで表せ。

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上記の問題が途中まではとけたのですが行き詰まりましたので質問させてください。

＜自分の解＞
Ia,Icは傍心だから、CIc、CIaは頂角Cおよびその外角の2等分線。よって 
∠IaCIc=∠R。 
また、直角三角形の相似から、 
Ra : Rb=1-α :1+α 
(2) Ia,IcからBCに下ろした垂線の長さはそれぞれRa,Rcで、頂角Cの大きさを2θとすると 
sinθ=Rc, cosθ=Ra/(1-α)　　　　　　
∴ Rc²+Ra²/(1-α)²=1　, 
すなわち Ra²+(1-α)²Rc²=(1-α)² 
しかし、これからRa:Rcは出てこない・・・(ToT)

お便り２００１／１１／５
from=CharlieBrown

(2)を解きました。

Ia,IcからBCに下ろした垂線の長さはそれぞれRa,Rcです。当然ながら
この垂線は平行なので、相似な直角三角形の条件が満たされて、
Ra：Rc=IaB:IcB となります。
(1)と同様に∠IaBIb=90°が示されますので、結局この問題は、
「頂点がIa(1,0)、Ib(-1,0)、Ic(α,1)である三角形IaIbIcの頂点Ibから
対辺IaIcに垂線を下ろしたとき、垂線の足Bは対辺をどのような比に内分
するか？」という問題に帰着します。

あとは平面幾何としてでも、図形と方程式としてでも解くことができます。
はじめに平面幾何で解きます。△IaIbB∽△IaIcC(一鋭角を共有する直角
三角形) よりIaIb：IaB=IaIc：IaC。
それぞれの長さは、IaIb=2、IaC=1-α、また△IaIcCでの三平方の定理から
IaIc=√(α^2-2α+2)。よって、IaB=(2-2α)/√(α^2-2α+2)。
ゆえに、
IaB：IcB
=(2-2α)/√(α^2-2α+2)：{√(α^2-2α+2)-(2-2α)/√(α^2-2α+2)}
=2(1-α)：α^2。
同じ答えは、図形と方程式の方法でも得られます。
直線IaIc：y=-1/(1-α)・(x-1)と直交する直線IbB：y=(1-α)(x+1)の
交点Bのx座標を求めると、x=(2α-α^2)/(α^2-2α+2)となります。
よって、IaB：IcB=(1-x)：(x-α)=2(1-α)：α^2。

[コメント]
ホームページに掲載されている図はちょっとゆがんでますね。
内接円と傍接円が同じ点で辺と接しているように描いてますが、
これは誤りです。

直線IbBの式にx=αを代入すれば、
△ABCの内心Iの座標が、(α、1-α^2)と求まります。
この内心Iは3つの傍心がつくる△IaIbIcの垂心になっています。
この事実を逆に用いると、次のような定理が得られます。
「△ABCの3つの頂点から対辺へ下ろした垂線の足を結んでできる三角形の
それぞれの頂角は、もとの△ABCの垂線によって2等分される」