質問＜４３８＞２００１／３／３０
えー、2年10組12番というのは、今日の3時までの話で、 クラス替えが、離任式の後にあったんですね。 だから、投稿者の名前が変わりましたので宜しく。 ああ、もう3年か、受験生だな、頑張ろう！！ 前置きはここまでにしておいて、質問です。 質問とは言っても、先生が、「知っておくと便利だから。」と紹介程度 で終わりました。でも、具体的に知りたくて、投稿しました。 くだらない質問です。 問１「マクローリン展開」とは、何ですか？ 問２ 「∞になるスピード」というのは？ 後者については、見ただけで（問題を見ただけで） 一瞬で極限が分かるという驚きもの。 ちなみに、 ・・・ｌｏｇｘ・・√ｘ、ｘ、ｘ2 ・・・ｅx・・・・ ←遅い――――――――――――――――――――速い→ こう教えられただけで、何故∞になるスピードの 速い遅いが分かるのか、そして、そんなものがあったのか？というのを 疑問に思いました。 そして、ｋ＞０として、 ｌｉｍｘ^kｌｏｇｘ＝０になる。 x→+0 と教えられ、いずれも納得いかずに授業が終了しました。 また何故、上の問題が０に収束するのかがわかりません。 ごちゃごちゃしてすみません。２問ほどですが宜しくお願いします。 数Ⅲって難しいですね。
お返事２００１／３／３０
from=武田
もう高校３年生ですね。ますます数学の勉強頑張ってください。 問１ マクローリン展開については、質問＜８９＞まち「テイラー展開」のところ で書いたことを再録します。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ １８世紀前半にイギリスで活躍した数学者Brook Taylorが考 えた展開で、 (b-a)2 (b-a)3 f(b)＝f(a)＋(b-a)f'(a)＋── f''(a)＋ ── f'''(a)＋…… ２！ ３！ テイラー展開とかテイラー級数とか言う。 関数f(x)が連続で微分可能な区間であれば、テイラー展開が 作れる。 ｂ＝ｘ、ａ＝０とすると、 x2 x3 f(x)＝f(0)＋xf'(0)＋── f''(0)＋ ── f'''(0)＋…… ２！ ３！ となり、関数f(x)は０の所での導関数で表現できる。 このあたりを詳しく調べたマクローリンの名前をつけて、 マクローリン展開とも言う。一般にテイラー展開という。 例えば、 sinｘ＝ｘ－ｘ3／３！＋ｘ5／５！－ｘ7／７！＋…… cosｘ＝１－ｘ2／２！＋ｘ4／４！－ｘ6／６！＋…… ｅx＝１＋ｘ／１！＋ｘ2／２！＋ｘ3／３！＋…… log（１＋ｘ）＝ｘ－ｘ2／２＋ｘ3／３－ｘ4／４＋……ただし、－１＜ｘ≦１ 等々である。 いろいろと考えられた関数を一つの形式で表現したかったの だろうか？または、微積分が考え出されたときなので、使っ てみたらこうなったのだろうか？動機は分からない。 証明だが、 関数f(x)がべき級数で表現できたとすると、 f(x)＝ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ2＋ａ3ｘ3＋ａ4ｘ4＋…… 微分して、 f'(x)＝ａ1＋２ａ2ｘ＋３ａ3ｘ2＋４ａ4ｘ3＋…… f''(x)＝２ａ2＋３・２ａ3ｘ＋４・３ａ4ｘ2＋…… f'''(x)＝３・２・１ａ3＋４・３・２ａ4ｘ＋…… ここで、ｘ＝０を代入すると、 f(0)＝ａ0 f'(0)＝ａ1 f''(0)＝２ａ2したがって、ａ2＝f''(0)／２！ f'''(0)＝３・２・１ａ3したがって、ａ3＝f'''(0)／３！ べき級数に戻して、 f(x)＝f(0)＋f'(0)ｘ＋f''(0)／２！・ｘ2＋f'''(0)／３！・ｘ3＋…… となる。出発点はべき級数からであったようだ。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 問２ 「∞になるスピード」が分かると、極限が解きやすくなります。 ｌｉｍ ｆ（ｘ） ｘ→∞ は、関数ｆ（ｘ）の形により、無限になるスピードが違ってきます。 例えば、関数ｆ（ｘ）＝ｘ2 と関数ｆ（ｘ）＝２xで調べてみましょう。 ｘに自然数を順に入れていくと ：１→２→３→……→ １０→……→ １００→……→∞ ｙ＝ｘ2 ：１→４→９→……→ １００→……→１００００→……→∞ ｙ＝２x ：２→４→８→……→１０２４→……→1267650600228229401496703205376→……→∞ このように同じ無限に行くが、そのスピードが関数により違うことがわかる。 グラフを書いてみると、そのスピードがわかりやすい。さて極限の問題ですが、 ｋ＞０のとき ｌｉｍ ｘk ・ｌｏｇｘ＝０ x→+0 ですが、 ｌｉｍ ｘk ＝０ ｘ→＋０ また、 ｌｉｍ ｌｏｇｘ＝－∞ ｘ→＋０ この２つのスピードを比較して考えると、 ｌｉｍ ｘk ・ｌｏｇｘ＝０・（－∞）＝０ ｘ→＋０ ↑ ↑ ↑ 早い 遅い 早い０の勝ち