質問＜４９２＞２００１／５／２６
from=３年１０組１２番
「微分法」

ＢＣ＝２、ＣＡ＝ＡＢ＝√３である三角形ＡＢＣがある。
辺ＢＣの中点をＰ1、Ｐ1から辺ＣＡに下ろした垂線の足を
Ｑ1、Ｑ1から辺ＡＢに下ろした垂線の足をＲ1、Ｒ1から
辺ＢＣに下ろした垂線の足をＰ2とする。
さらに続けて、Ｐ2から辺ＣＡに下ろした垂線の足をＱ2、
Ｑ2から辺ＡＢに下ろした垂線の足をＲ2、Ｒ2から辺ＢＣ
に下ろした垂線の足をＰ3とする。
この操作を繰り返して、辺ＢＣ上に点Ｐｎ
(ｎ＝1,2,3・・・）をとる。

(1）cosＡの値を求めよ。

(2）ＢＰｎ＝Ｘｎとおくとき、Ｘｎ+1をＸｎで表せ。

(3）極限　ｌｉｍＸｎを求めよ。
　　　　　ｎ→∞

お返事２００１／５／２６
from=武田

（１）
△ＡＢＣにおいて余弦定理をつかって、
２2 ＝（√３）2 ＋（√３）2 －２（√３）2 cosＡ
４＝６－６cosＡ
　　　　　１
∴cosＡ＝──　……（答）
　　　　　３

（２）
ｘ2 ＝ＢＰ2 
　　＝ＢＰ1 ＋Ｐ1 Ｐ2 
　　　　　　　　　　　Ａ
　　＝１＋Ｐ1 Ｒ1 cos────
　　　　　　　　　　　２

　　　　　　　　　Ａ　　　Ａ
　　＝１＋√２sin──・cos─
　　　　　　　　　２　　　２

ｘ3 ＝ＢＰ3 
　　＝ＢＰ1 ＋Ｐ1 Ｐ2 ＋Ｐ2 Ｐ3 

　　　　　　　　　Ａ　　　Ａ　　　　　　Ａ　　　　　Ａ
　　＝１＋√２sin──・cos─＋√２（sin──）3 ・cos─
　　　　　　　　　２　　　２　　　　　　２　　　　　２

したがって、
ｘn ＝ＢＰn 

　　＝ＢＰ1 ＋Ｐ1 Ｐ2 ＋Ｐ2 Ｐ3 ＋……＋Ｐn-1 Ｐn 

　　　　　　　　　Ａ　　　Ａ　　　　　　Ａ　　　　　Ａ　　　　　　　　Ａ　　　　　Ａ
　　＝１＋√２sin──・cos─＋√２（sin──）3 ・cos─＋……＋√２（sin─）2n-3 ・cos─
　　　　　　　　　２　　　２　　　　　　２　　　　　２　　　　　　　　２　　　　　２

　　　　　　　　　　　Ａ　　　　　　　Ａ
　　＝ｘn-1 ＋√２（sin──）2n-3 ・cos──
　　　　　　　　　　　２　　　　　　　２

　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　　　Ａ
∴ｘn+1 ＝ｘn ＋√２（sin──）2n-1 ・cos──
　　　　　　　　　　　　２　　　　　　２

（３）
ｌｉｍ　Ｘn 
ｎ→∞

　　　　　　　　　Ａ　　　Ａ　　　　　　Ａ　　　　　Ａ
　　＝１＋√２sin──・cos─＋√２（sin──）3 ・cos─＋……
　　　　　　　　　２　　　２　　　　　　２　　　　　２

　　　　　　　　　Ａ　　　Ａ
　　　　　√２sin──・cos─
　　　　　　　　　２　　　２
　　＝１＋─────────
　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　１－（sin──）2 
　　　　　　　　　　２

　　　　　　√２
　　　　　　──sinＡ
　　　　　　　２　　　　　　　　√２sinＡ
　　＝１＋───────＝１＋──────
　　　　　　１＋cosＡ　　　　　１＋cosＡ
　　　　　　─────
　　　　　　　　２

　　　　１　　　　　　　　　　　　　１　　　　２√２
cosＡ＝──だから、sinＡ＝√｛１－（─）2 ｝＝────より、
　　　　３　　　　　　　　　　　　　３　　　　　３

　　　　　　　　　　　　２√２　　　　　　４
　　　　　　　　　√２・────　　　　───
　　　　　　　　　　　　　３　　　　　　　３
ｌｉｍ　Ｘn ＝１＋────────＝１＋────＝２……（答）
ｎ→∞　　　　　　　　　１　　　　　　　　４
　　　　　　　　　　１＋─　　　　　　　───
　　　　　　　　　　　　３　　　　　　　　３