質問<492>2001/5/26
BC=2、CA=AB=√3である三角形ABCがある。 辺BCの中点をP1、P1から辺CAに下ろした垂線の足を Q1、Q1から辺ABに下ろした垂線の足をR1、R1から 辺BCに下ろした垂線の足をP2とする。 さらに続けて、P2から辺CAに下ろした垂線の足をQ2、 Q2から辺ABに下ろした垂線の足をR2、R2から辺BC に下ろした垂線の足をP3とする。 この操作を繰り返して、辺BC上に点Pn (n=1,2,3・・・)をとる。 (1)cosAの値を求めよ。 (2)BPn=Xnとおくとき、Xn+1をXnで表せ。 (3)極限 limXnを求めよ。 n→∞
お返事2001/5/26
from=武田
(1) △ABCにおいて余弦定理をつかって、 22 =(√3)2 +(√3)2 -2(√3)2 cosA 4=6-6cosA 1 ∴cosA=── ……(答) 3 (2) x2 =BP2 =BP1 +P1 P2 A =1+P1 R1 cos──── 2 A A =1+√2sin──・cos─ 2 2 x3 =BP3 =BP1 +P1 P2 +P2 P3 A A A A =1+√2sin──・cos─+√2(sin──)3 ・cos─ 2 2 2 2 したがって、 xn =BPn =BP1 +P1 P2 +P2 P3 +……+Pn-1 Pn A A A A A A =1+√2sin──・cos─+√2(sin──)3 ・cos─+……+√2(sin─)2n-3 ・cos─ 2 2 2 2 2 2 A A =xn-1 +√2(sin──)2n-3 ・cos── 2 2 A A ∴xn+1 =xn +√2(sin──)2n-1 ・cos── 2 2 (3) lim Xn n→∞ A A A A =1+√2sin──・cos─+√2(sin──)3 ・cos─+…… 2 2 2 2 A A √2sin──・cos─ 2 2 =1+───────── A 1-(sin──)2 2 √2 ──sinA 2 √2sinA =1+───────=1+────── 1+cosA 1+cosA ───── 2 1 1 2√2 cosA=──だから、sinA=√{1-(─)2 }=────より、 3 3 3 2√2 4 √2・──── ─── 3 3 lim Xn =1+────────=1+────=2……(答) n→∞ 1 4 1+─ ─── 3 3