質問

初めて質問させていただきます。
質問内容は、証明問題です。２問ほどあります。よろしくお願いします。

問１）
⊿ＯＡＢ、⊿ＯＣＤ、⊿ＯＥＦは、それぞれ大きさの違う正三角形である。
ＤＥ、ＦＡ、ＢＣの中点をそれぞれＬ、Ｍ、Ｎとするとき、
⊿ＬＭＮもまた、正三角形であることを証明せよ。

問２）
平面上において、直線ｌと、ｌ上にない点Ａをとる。
直線ｌ上に点Ｂを線分ＡＢと直線ｌが直交するようにとり、
点Ｂを中心として直線ｌを角度θだけ回転して得られる直線をｍとする。
直線ｌ上にない点Ｐをとり、直線ｌに関してＰと対称な点Ｑをとる。
また点Ａを中心として点Ｑを角度２θだけ回転して得られる点をＲとする。
このとき、線分ＰＲの中点Ｍは直線ｍ上にあることを証明せよ。
（ｌというのは、小文字のエルです。）

お便り２００２／４／２
from=元3年10組12番

問１）
Ｏを原点とし、Ａ、Ｃ、Ｅを表す複素数をz1、z2，z3とおく。
また、６０°回転を表す複素数をαとおく。
　　　　→　→　→
すると、OA、OC、OEをそれぞれ６０°回転したものが
→、→、→
OB　OD　OFであるから、Ｂ、Ｄ、Ｆを表す複素数は、それぞれ、
αz1、αz2、αz3である。
そこでｌ、Ｍ、Ｎを表す複素数をl、ｍ、ｎとすると、

ｌ＝αz2＋z3／２、ｍ＝αz3＋z1／２、ｎ＝αz1＋z2／２
　　　　　　　　　→　　　　　　　　　　　　　→
証明すべきことは、MNを表す複素数にαをかけるとMLを表す複素数
になること、即ち、
α(ｎ－ｍ）＝α（αz1＋z2／２－αz3＋z1／２）が
ｌ－ｍに等しいこと・・・・(米)

今、αは６０°回転を表すから、α^2は120度回転を表し、
α－α^2＝１である。
∴α^2＝α－１
これを、(米）に代入して整理すると、
(米)＝α^2(z1－z3）／２＋α(z2－z1）／２
　　＝(α－１）(z1－z3）／２＋α(z2－z1）／２
　　＝α（z2－z3）／２＋(z3－z1）／２
　　＝αz2＋z3／２－αz3＋z1／２
　　＝ｌ－ｍ
となる。よって、題意は示された。

問２）
点Ｂを原点とし、直線ｌを実軸とする複素数平面を考える。
すると、点Ａは虚軸上の点なので、ａを実数として、
　Ａ(ａｉ）、Ｐ(ｚ)、Ｒ(ｗ）
　　　　　　　　　　　─
とおける。ただし、ｚ≠ｚとする。　　─　
ＰとＱは実軸ｌに関して対称なのでＱ（ｚ)である。
ここで、
　　ｚ＝ｘ＋ｙｉ（ｘ、ｙは実数、ｙ≠０）
とおく。Ａを中心にＱを角２θだけ回転した点がＲだから、
　　　　　　　─　
　ｗ－ａｉ＝（ｚーａｉ）(ｃｏｓ２θ＋ｉｓｉｎ２θ）
であるから、
ｗ＝(ｘ－ｙｉ－ａｉ)(ｃｏｓ２θ＋ｉｓｉｎ２θ）＋ａｉ
　＝{ｘcos２θ＋(ｙ＋a）ｓｉｎ２θ}
　　　　　　　＋{ｘsin２θ－(ｙ＋ａ）cos２θ＋ａ}ｉ
ここで、線分ＰＲの中点Ｍの複素数をｕとおくと、
　　ｕ＝ｚ＋ｗ／２
　　（途中計算が煩雑なために略）
　　　＝{ｘcosθ＋(ｙ＋ａ）sinθ}(cosθ＋ｉsinθ)
ｘcosθ＋(ｙ＋ａ）sinθは実数より、実軸ｌ上の点であり、
ｕはこの点を原点Ｂを中心に角θだけ回転した点である。
また、直線ｍは直線ｌを原点Ｂを中心に角θだけ回転した直線
である。よって、題意は示された。（ｑ.ｅ.ｄ）

今日は1日暇だったので、ずっと考えてました。
いや～、なかなか難しかったです。
けど、考える価値のある問題だな～と思いました。
これは、自分の考えた解答ですけど、合ってますかね？
みなさんでこの解答について、おかしいなとか思ったら、
ご指摘願いませんかね？よろしくお願いします。