質問<813>2002/4/2
初めて質問させていただきます。 質問内容は、証明問題です。2問ほどあります。よろしくお願いします。 問1) ⊿OAB、⊿OCD、⊿OEFは、それぞれ大きさの違う正三角形である。 DE、FA、BCの中点をそれぞれL、M、Nとするとき、 ⊿LMNもまた、正三角形であることを証明せよ。 問2) 平面上において、直線lと、l上にない点Aをとる。 直線l上に点Bを線分ABと直線lが直交するようにとり、 点Bを中心として直線lを角度θだけ回転して得られる直線をmとする。 直線l上にない点Pをとり、直線lに関してPと対称な点Qをとる。 また点Aを中心として点Qを角度2θだけ回転して得られる点をRとする。 このとき、線分PRの中点Mは直線m上にあることを証明せよ。 (lというのは、小文字のエルです。)
お便り2002/4/2
from=元3年10組12番
問1) Oを原点とし、A、C、Eを表す複素数をz1、z2,z3とおく。 また、60°回転を表す複素数をαとおく。 → → → すると、OA、OC、OEをそれぞれ60°回転したものが →、→、→ OB OD OFであるから、B、D、Fを表す複素数は、それぞれ、 αz1、αz2、αz3である。 そこでl、M、Nを表す複素数をl、m、nとすると、 l=αz2+z3/2、m=αz3+z1/2、n=αz1+z2/2 → → 証明すべきことは、MNを表す複素数にαをかけるとMLを表す複素数 になること、即ち、 α(n-m)=α(αz1+z2/2-αz3+z1/2)が l-mに等しいこと・・・・(米) 今、αは60°回転を表すから、α^2は120度回転を表し、 α-α^2=1である。 ∴α^2=α-1 これを、(米)に代入して整理すると、 (米)=α^2(z1-z3)/2+α(z2-z1)/2 =(α-1)(z1-z3)/2+α(z2-z1)/2 =α(z2-z3)/2+(z3-z1)/2 =αz2+z3/2-αz3+z1/2 =l-m となる。よって、題意は示された。 問2) 点Bを原点とし、直線lを実軸とする複素数平面を考える。 すると、点Aは虚軸上の点なので、aを実数として、 A(ai)、P(z)、R(w) ─ とおける。ただし、z≠zとする。 ─ PとQは実軸lに関して対称なのでQ(z)である。 ここで、 z=x+yi(x、yは実数、y≠0) とおく。Aを中心にQを角2θだけ回転した点がRだから、 ─ w-ai=(zーai)(cos2θ+isin2θ) であるから、 w=(x-yi-ai)(cos2θ+isin2θ)+ai ={xcos2θ+(y+a)sin2θ} +{xsin2θ-(y+a)cos2θ+a}i ここで、線分PRの中点Mの複素数をuとおくと、 u=z+w/2 (途中計算が煩雑なために略) ={xcosθ+(y+a)sinθ}(cosθ+isinθ) xcosθ+(y+a)sinθは実数より、実軸l上の点であり、 uはこの点を原点Bを中心に角θだけ回転した点である。 また、直線mは直線lを原点Bを中心に角θだけ回転した直線 である。よって、題意は示された。(q.e.d) 今日は1日暇だったので、ずっと考えてました。 いや~、なかなか難しかったです。 けど、考える価値のある問題だな~と思いました。 これは、自分の考えた解答ですけど、合ってますかね? みなさんでこの解答について、おかしいなとか思ったら、 ご指摘願いませんかね?よろしくお願いします。