質問

(1)　数列｛a_n｝が
　　　　　
          (n+1)/(2n+3)＜=a_n-1,a_n＜=(6n+5)/(4n+3)
    を満たす時、lim(n→∞)a_n

(2) 円Oに内接する正三角形の一辺をABとする。
    劣弧AB上を動点PがAからBの方向に動く。
　　点Pが点Bに限りなく近づく時、
　　　　(AB-AP)/BPの極限値

(3) a>0,b>0のとき、三次方程式
　　　(x-a)^2(x+b)=x^2
    は2つの正の解と1つの負の解を持つことを示せ。

お願いします。

お便り２００２／７／２
from=phaos

(1) 式が良く分からない。
(n + 1)/(2n + 3) = (1 + 1/n)/(2 + 3/n) → 1/2 (as n → ∞),
(6n + 5)/(4n + 3) = (6 + 5/n)/(4 + 3/n) → 6/4 = 3/2 (as n → ∞).
だから
(n + 1)/(2n + 3) ≦ a_n-1
で a_n-1 が (a_n) - 1 のつもりなら, 極限が存在して
lim_(n →∞) a_n = 3/2
であるが
もしも a_n-1 が a_(n - 1) であると唯単に
1/2 ≦ lim_(n →∞) a_n ≦ 3/2
しか分からない。

(2) 円 O の半径を 1 とすると正三角形の一辺の長さは √3,
∠PAB = θ と置くと, ∠APB = 60°で, ∠PBA = 60°- θ.
P→B は θ→0 を意味する。
正弦定理より
AP = 2sin(60°- θ),
BP = 2sin θ
であるから
(AB - AP)/BP
= ((√3) - 2sin(60°- θ))/(2sin θ)
= ((√3) - (√3)cos θ + sin θ)/(2sin θ) … 加法定理を用いた。
= (√3)(1 - cos θ)/(2sin θ) + 1/2
= (√3)sin^2 θ/(2sin θ(1 + cos θ)) + 1/2
= (√3)sin θ/(2(1 + cos θ)) + 1/2 → 1/2 (as θ→0).

(3)
y(x) = (x - a)^2 (x + b) - x^2
と置く。y(x) = 0 の解と, 問題の解は一致する。

y(0) = a^2b > 0
y(-b) = -b^2 ＜ 0
で -b ＜ 0 だから, 中間値の定理により
-b ＜ x ＜ 0 に一つの解 (即ち負の解) を持つ。

y(a) = -a^2 ＜ 0 で a > 0 だから, 再び中間値の定理により
0 ＜ x ＜ a に一つの解 (即ち正の解のうちの一つ) を持つ。
一方
lim_(x→∞) y(x) = +∞
だから, x > a にも一つの解 (即ち正の解のうちの一つ) を持つ。

y(x) = 0 は三次方程式だから, これ以外に解はない。
よって, 二つの正の解と一つの負の解を持つ。