質問<886>2002/6/29
(1) 数列{a_n}が (n+1)/(2n+3)<=a_n-1,a_n<=(6n+5)/(4n+3) を満たす時、lim(n→∞)a_n (2) 円Oに内接する正三角形の一辺をABとする。 劣弧AB上を動点PがAからBの方向に動く。 点Pが点Bに限りなく近づく時、 (AB-AP)/BPの極限値 (3) a>0,b>0のとき、三次方程式 (x-a)^2(x+b)=x^2 は2つの正の解と1つの負の解を持つことを示せ。 お願いします。
お便り2002/7/2
from=phaos
(1) 式が良く分からない。 (n + 1)/(2n + 3) = (1 + 1/n)/(2 + 3/n) → 1/2 (as n → ∞), (6n + 5)/(4n + 3) = (6 + 5/n)/(4 + 3/n) → 6/4 = 3/2 (as n → ∞). だから (n + 1)/(2n + 3) ≦ a_n-1 で a_n-1 が (a_n) - 1 のつもりなら, 極限が存在して lim_(n →∞) a_n = 3/2 であるが もしも a_n-1 が a_(n - 1) であると唯単に 1/2 ≦ lim_(n →∞) a_n ≦ 3/2 しか分からない。 (2) 円 O の半径を 1 とすると正三角形の一辺の長さは √3, ∠PAB = θ と置くと, ∠APB = 60°で, ∠PBA = 60°- θ. P→B は θ→0 を意味する。 正弦定理より AP = 2sin(60°- θ), BP = 2sin θ であるから (AB - AP)/BP = ((√3) - 2sin(60°- θ))/(2sin θ) = ((√3) - (√3)cos θ + sin θ)/(2sin θ) … 加法定理を用いた。 = (√3)(1 - cos θ)/(2sin θ) + 1/2 = (√3)sin^2 θ/(2sin θ(1 + cos θ)) + 1/2 = (√3)sin θ/(2(1 + cos θ)) + 1/2 → 1/2 (as θ→0). (3) y(x) = (x - a)^2 (x + b) - x^2 と置く。y(x) = 0 の解と, 問題の解は一致する。 y(0) = a^2b > 0 y(-b) = -b^2 < 0 で -b < 0 だから, 中間値の定理により -b < x < 0 に一つの解 (即ち負の解) を持つ。 y(a) = -a^2 < 0 で a > 0 だから, 再び中間値の定理により 0 < x < a に一つの解 (即ち正の解のうちの一つ) を持つ。 一方 lim_(x→∞) y(x) = +∞ だから, x > a にも一つの解 (即ち正の解のうちの一つ) を持つ。 y(x) = 0 は三次方程式だから, これ以外に解はない。 よって, 二つの正の解と一つの負の解を持つ。