質問<896>2002/7/24
from=hajime
「数列の応用?」
x≧0 y≧0 z≧0 x+y+2z≦2n (nは0以上の整数)を満たす x,y,zの組(x,y,z)の個数。 xとyだけなら何とか分かるんですがzが入ってくるとわけが わかりません。おねがいします。
お返事2002/7/24
from=武田
nが変化するにしたがって個数が変わるから、数列の問題ですね。 n=0から1つずつ増やしながら、個数を数えていきます。 n=0のとき、 (x,y,z)=(0,0,0) 1個 n=1のとき、 (x,y,z)=(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (1,0,0) (1,1,0) (2,0,0) (0,2,0) 7個 しかしながら、どうにも面倒なので、 十進Basicでプログラムして、 -------------------------------------- for n=0 to 10 step 1 let count=0 for x=0 to 100 step 1 for y=0 to 100 step 1 for z=0 to 100 step 1 if x+y+2*z<=2*n then let count=count+1 else end if next z next y next x print n;count next n end -------------------------------------- n count 0 1 1 7 2 22 3 50 4 95 5 161 6 252 7 372 8 525 9 715 10 946 この数列の一般項を出すのは難しいので、 私の得意な「幻の0番法」で解きました。 階差を取ると、第3階差で一定の4となるので、元の数列は3次関数と なるから、 3次関数y=ax3 +bx2 +cx+dのときの公式より、 { d=1 {a+b+c=6 {6a+2b=9 { 6a=4 これを解くと、 {a=2/3 {b=5/2 {c=17/6 {d=1 したがって、
したがって、
………(答)
ようやく休みになりましたが,いかがでしょうか? d3です.よろしくお願いします. 質問<896>2002/7/24「数列の応用?」 この問題,私も解答してみました. x≧0,y≧0,z≧0で,x+y+2z≦2n (nは0以上の整数)の (x,y,z)の組(正の整数解)を考えることは, w=2n-(x+y+2z)として考えると,w≧0で, x+y+2z+w=2n (nは0以上の整数)の (x,y,z,w)の組(正の整数解)を考えることと本質的に 同じコトです. さらにzを固定して考えると, x+y+w=2(n-z) (nは0以上の整数)の (x,y,w)の組(正の整数解)を考えて, 2(n-z)=0,2,・・・,2nの場合で,その組の個数を すべて加えればいいのです. x+y+w=2(n-z) (nは0以上の整数)の (x,y,w)の組(正の整数解)の個数は, n-z=k-1として, C(2k,2)=(2k)(2k-1)/2=k(2k-1)です. (組合せのnCrをC(n,r)とかいています.) C(2,2)+C(4,2)+C(6,2)+・・・+C(2n+2,2) =∑(k=1→n+1),k(2k-1) これで答えが出てきます. (最後のところを二項定理でやるのもあるかな?) お身体をくれぐれもご自愛ください. またおじゃまします.(毎日おじゃましています). それでは,失礼します.