質問<926>2002/8/21
x3の係数が1である実数係数の3次式f(x)について αが方程式f(x)=0の解ならば、α2も解であるという。 この時、 (1)方程式f(x)=0の解の絶対値は0または1であることを証明せよ。 (2)この方程式が異なる3つの解を持つ時、f(x)=0を求めよ。 方針すら立ちませんでした・・・。よろしくお願いします。
お便り2002/8/22
from=Tetsuya Kobayashi
こんにちは。 (1) |z^2|=|z|^2 。 f(x)=0 の3解の絶対値を a, b, c とする。 (すなわち、a, b, c は0以上の実数。) (ア) a=a^2 のとき、a=0, 1 。 (イ) a=b^2 のとき、 (あ) b=a^2 のとき、a=a^4 ∴ a=0, 1 。 (い) b=b^2 のとき、b=0, 1 ∴ a=0, 1 。 (う) b=c^2 のとき、 (A) c=a^2 のとき、a=a^6 ∴ a=0, 1 。 (B) c=b^2 のとき、b=b^4 ∴ b=0, 1 ∴ a=0, 1 。 (C) c=c^2 のとき、c=0, 1 ∴ b=0, 1 ∴ a=0, 1 。 (ウ) a=c^2 のとき、(イ) と同様にして a=0, 1 。 以上より、a=0, 1 。 同様にして b=0, 1 、c=0, 1 (2) f(x) は3通り。(conj(z) は z の共役複素数。) (ア) f(x)=0 が相異3実解を持つとき、 (1) より解 x=-1, 0, 1 でなければならない。 このとき f(x)=(x+1)x(x-1)=x^3-x 。 ~~~~~ (イ) f(x)=0 が1実解と2共役虚解を持つとき、 実数は2乗しても実数なので、 f(x)=0 の実解を x とおけば、x^2=x ∴ x=0, 1 。 また虚数の2乗が0または1または自分自身になることはないので、 虚解の1つを z とおけば、 z^2=conj(z) ここで |z|=1 だから、両辺に z を掛けて、 z^3=1 。 すなわち、f(x)=0 の2共役虚解は1の2つの原始3乗根に等しい。 したがって、f(x)=x(x^2+x+1)=x^3+x^2+x ~~~~~~~~~ または f(x)=(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1 。 ~~~~~