質問＜１０６４＞２００３／１／１２
from=あき
「定積分の問題」

もう一問わからない問題があるんです。
理解したいので、できるだけ分かりやすいお返事いただきたいです。
お願いします。

∫ -∞→∞ eの(-x2乗) dx です。

かなり読みにくいです。
eのマイナスエックス２乗です。
　お願いします。

お便り２００３／１／１３
from=juin

S=Integral(exp(-x^2))dx*Integral(exp(-y^2))dy
=Integral(exp(-x^2-y^2))dxdy
x=r*cos(t),y=r*sin(t) then dxdy=rdrdt
S=Integral(exp(-r^2)r)drdt=Pi
Then S=Sqrt(Pi)

お返事２００３／１／１４
from=武田

ガンマ関数の次の公式から求めると便利である。

α、ｍ、ｎは正の定数とすると、

ｍ＝０、α＝１、ｎ＝２より、

 ………（答）

お便り２００３／１／１４
from=phaos

留数を用いる方法もある。
与式^2 = ∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx ∫_(-∞)^∞ e^(-y^2) dy
= ∫∫_(R^2) e^(-(x^2 + y^2)) dxdy … 極座標に変換
= ∫∫_(R^2) e^ (-r^2) rdrdθ
= [θ]_0^(2π)[-e^(-r^2)/2]_0^∞ = π.
だから
∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = √π.

お便り２００３／１／２１
from=あき

＜1064＞で質問したあきですが、

Γ(1/2)＝√π　　
にどうしてなるのかがわからないんです。お願いします。

お返事２００３／１／２１
from=武田

ガンマ関数の定義は、 です。

　　１　　　∞　-1/2　-x
Γ（―）＝∫　ｘ　　ｅ　　ｄｘ
　　２　　　０

置換積分をする。　とおくと、

上のjuinさんとphaosさんの解答にあるように、 より、

 となる。

しかし、この展開は、「卵か鶏か」の論理になるので、

公式として を覚えているときに使ってください。

ふつうはガンマ関数を使わないで、解いた方がよいですね。