質問＜１０６８＞２００３／１／１３
from=ゆう
「ベクトル空間」

1）
　　 dの３乗ｙ　　　ｄの２乗ｙ　　　ｄｙ　
　　――――― －４―――――― ＋　――　＋6ｙ＝０
　　ｄｘの３乗　　　ｄｘの２乗　　　ｄｘ　

の解全体をＶとする。Ｖがベクトル空間であることを示せ。
また写像ＴをＴ(f(x))＝df(x)/dx と定義するとき、
ＴはＶの線形変換であることを示せ。

2）正方行列Ａが　Ａの３乗－Ａ＝０
　を満たすとき、Ａの固有値を求めよ。

レポートなんですが、わからないんです。お願いします。

お便り２００３／１／１３
from=juin

Suppose y1 and y2 are the solution of the equation.
(1)
d^3(y1+y2)/dx^3-4d^2(y1+y2)/dx^2+d(y1+y2)/dx+6(y1+y2)
=d^3y1/dx^3+d^3y2/dx^3-4d^2y1/dx^2-4d^2y2/dx^2+dy1/dx+dy2/dx+6y1+6y2
=0+0=0
(2)
d^3(ky1)/dx^3-4d^2(ky1)/dx^2+d(ky1)/dx+6ky1
=k(d^3y1/dx-4d^2yd1/dx^2+dy1/dx+6y1)
Then V is a vector space

お便り２００３／１／１４
from=phaos

1)
f, g ∈ V, a, b は scalar, y = af + bg とすると
d^3y/dx^3 - 4d^2y/dx^2 + dy/dx + 6y
= af''' + bg''' - 4af'' -4bg''' + af' + bg' + 6af + 6bg
= a(f''' - 4f'' + f' + 6f) + b(g''' - 4g'' + g' + 6g) = 0.
だから y = af + bg ∈ V.

f が f''' - 4f'' + f' + 6f = 0 を満たせば, この両辺を微分すると
f'''' - f''' + f'' + 6f' = 0.
即ち Tf = f' ∈ V.

2)
A^3 - A = A(A^2 - I) = A(A - I)(A + I) = 0
但し I は単位行列。
従って固有値としては 0, ±1 の何れか (或いはその全て)。
(A = 0 という場合や A = I, A = -I という場合もあるので, 
どれか一つという可能性も落とせない)