質問<1068>2003/1/13
1) dの3乗y dの2乗y dy ――――― -4―――――― + ―― +6y=0 dxの3乗 dxの2乗 dx の解全体をVとする。Vがベクトル空間であることを示せ。 また写像TをT(f(x))=df(x)/dx と定義するとき、 TはVの線形変換であることを示せ。 2)正方行列Aが Aの3乗-A=0 を満たすとき、Aの固有値を求めよ。 レポートなんですが、わからないんです。お願いします。
お便り2003/1/13
from=juin
Suppose y1 and y2 are the solution of the equation. (1) d^3(y1+y2)/dx^3-4d^2(y1+y2)/dx^2+d(y1+y2)/dx+6(y1+y2) =d^3y1/dx^3+d^3y2/dx^3-4d^2y1/dx^2-4d^2y2/dx^2+dy1/dx+dy2/dx+6y1+6y2 =0+0=0 (2) d^3(ky1)/dx^3-4d^2(ky1)/dx^2+d(ky1)/dx+6ky1 =k(d^3y1/dx-4d^2yd1/dx^2+dy1/dx+6y1) Then V is a vector space
お便り2003/1/14
from=phaos
1) f, g ∈ V, a, b は scalar, y = af + bg とすると d^3y/dx^3 - 4d^2y/dx^2 + dy/dx + 6y = af''' + bg''' - 4af'' -4bg''' + af' + bg' + 6af + 6bg = a(f''' - 4f'' + f' + 6f) + b(g''' - 4g'' + g' + 6g) = 0. だから y = af + bg ∈ V. f が f''' - 4f'' + f' + 6f = 0 を満たせば, この両辺を微分すると f'''' - f''' + f'' + 6f' = 0. 即ち Tf = f' ∈ V. 2) A^3 - A = A(A^2 - I) = A(A - I)(A + I) = 0 但し I は単位行列。 従って固有値としては 0, ±1 の何れか (或いはその全て)。 (A = 0 という場合や A = I, A = -I という場合もあるので, どれか一つという可能性も落とせない)