質問＜１１６＞９９／１／１５
from=水島愛
「色々な問題」

（１）３ｘ＋２ｙ＝１２のとき、ｘｙの最大値をもとめよ。

（２）点（－３，１）を通り、円ｘ＾２＋ｙ＾２＝１に接す
る直線の方程式の中で、ｘ軸に平行出ない直線は（　　）で
あり、その接点の座標は（　　）である。

（３）ｘ（ｘ－２）／３＋ｘ／６≦１－ｘ／８－ｘ／６を満
足するｘの値の範囲は（　　）≦ｘ≦（　　）である。

（４）ａ＞ｂ＞０のとき、１＜ａ＋１／ｂ＋１＜ａ／ｂを証
明しなさい。

（５）和が３，積が１になる２つの数のなかで、大きい方の
数は（　）である。

お返事９９／１／１７
from=武田

問（１）

３ｘ＋２ｙ＝１２を変形して、ｙ＝-3/2ｘ＋６
ｘｙ＝ｋに代入して
-3/2ｘ2＋６ｘ＝ｋ
３ｘ2－１２ｘ＋２ｋ＝０
判別式よりＤ＝１４４－２４ｋ≧０
ｋ≦６
したがってｋの最大値は６……（答）

問（２）

接点Ｐ（ａ，ｂ）とすると、
接線の公式より、ａｘ＋ｂｙ＝１
この接線が点（－３，１）を通るから、－３ａ＋ｂ＝１
変形してｂ＝３ａ＋１……①
円周上より、ａ2＋ｂ2＝１……②
①を②に代入して、ａ2＋（３ａ＋１）2＝１
変形して、１０ａ2＋６ａ＝０
∴ａ＝０，－３／５
接線はｘ軸に平行でないので、ａ＝－３／５
①に代入して、ｂ＝－４／５
接点Ｐ（－３／５，－４／５）……（答）
接線ａｘ＋ｂｙ＝１に代入して
-3/5ｘ-4/5ｙ＝１
変形して、ｙ＝-3/4ｘ-5/4……（答）

問（３）
両辺に２４を掛けて８ｘ（ｘ－２）＋４ｘ≦２４－３ｘ－４ｘ
変形して
８ｘ2－５ｘ－２４≦０
方程式の解の公式より
ｘ＝（５±√７９３）／１６
二次不等式の解の範囲は
（５－√７９３）／１６≦ｘ≦（５＋√７９３）／１６

問（４）
①１＜（ａ＋１）／（ｂ＋１）の証明
　　ａ＞ｂ＞０より、ａ＋１＞ｂ＋１＞１＞０
　　ｂ＋１＞０で割って、
　　（ａ＋１）／（ｂ＋１）＞１
②（ａ＋１）／（ｂ＋１）＜ａ／ｂの証明
　　ａ＞ｂ＞０より、ａ＋１＞ｂ＋１＞１＞０
　　ａ＞ｂ＞０より、ａｂ＞０
　　両辺に加えて
　　ａ＋ａｂ＞ｂ＋ａｂ
　　ａ（１＋ｂ）＞ｂ（１＋ａ）
　　ｂ＋１＞０、ｂ＞０で割って、
　　ａ／ｂ＞（１＋ａ）／（１＋ｂ）
したがって①②より証明できた。

問（５）
解と係数の関係より
和α＋β＝３、積αβ＝１より、
ｔ2－３ｔ＋１＝０
解の公式より
ｔ＝（３±√５）／２
∴（３＋√５）／２……（答）