質問<1414>2003/9/23
a,bを正の定数とする。平面上の曲線Cは媒介変数を用いて, X=a(2+sint),Y=b(1+cost) で表されている。 (1) 曲線CをX,Yの方程式で表せ。 (2) 曲線Cの接線で原点(0,0)をとおるものを全て求めよ。 という問題を解いたのですが,(2)がわかりません。 解法のアドバイスをお願いします。
お便り2003/9/24
from=Tetsuya Kobayashi
(2) y=0, 4bx-3ay=0.
お返事2003/9/24
from=武田
(1) (x-2a)^2 (y-b)^2 ───────+──────=1 a^2 b^2 (2) この楕円上の接点(α,β)とすると、接線の公式より、 (α-2a)(x-2a) (β-b)(y-b) ────────────+──────────=1 a^2 b^2 これが原点を通るから、x=0,y=0を代入して、 (α-2a)(-2a) (β-b)(-b) ───────────+──────────=1 a^2 b^2 (α-2a)(-2) (β-b)(-1) ──────────+─────────=1 a b 両辺にabをかけて、 -2b(α-2a)-a(β-b)=ab -2bα+4ab-aβ+ab-ab=0 2bα+aβ-4ab=0 2b ∴β=-──・α+4b a この接点(α,β)は、楕円上にあるから、代入して、 (α-2a)^2 (β-b)^2 ───────+──────=1 a^2 b^2 (α-2a)^2 {(-2b/a)α+4b-b}^2 ───────+────────────────=1 a^2 b^2 両辺にa^2b^2をかけて、 b^2(α-2a)^2+a^2{(-2b/a)α+3b}^2=a^2b^2 b^2α^2-4ab^2α+4a^2b^2+4b^2α^2 -12ab^2α+9a^2b^2-a^2b^2=0 5b^2α^2-16ab^2α+12a^2b^2=0 b^2で両辺を割って、 5α^2-16aα+12a^2=0 (5α-6a)(α-2a)=0 6 ∴α=─a、2a 5 βの式に代入して、 2b 6 12b -12b+20b 8 β=-──・─a+4b=-───+4b=────────=─b a 5 5 5 5 または、 2b β=-──・2a+4b=-4b+4b=0 a したがって、 6 8 (8/5)b 4b 接点(─a,─b)と原点を通る接線は、y=──────x=──x 5 5 (6/5)a 3a ∴4bx-3ay=0………(答) 0 接点(2a,0)と原点を通る接線は、y=──x=0 2a ∴y=0(x軸)………(答)