質問＜１４１４＞２００３／９／２３
from=gochanko
「平面上の曲線」

a,bを正の定数とする。平面上の曲線Cは媒介変数を用いて，
X＝a(2+sint),Y=b(1+cost)
で表されている。
(１)　曲線CをX,Yの方程式で表せ。
(２)　曲線Cの接線で原点(0，0)をとおるものを全て求めよ。
という問題を解いたのですが，(２）がわかりません。
解法のアドバイスをお願いします。

お便り２００３／９／２４
from=Tetsuya Kobayashi

(2)
y=0, 4bx-3ay=0.

お返事２００３／９／２４
from=武田

（１）
（ｘ－２ａ）^2　（ｙ－ｂ）^2
───────＋──────＝１
　　ａ^2　　　　　　ｂ^2

（２）
この楕円上の接点（α，β）とすると、接線の公式より、
（α－２ａ）（ｘ－２ａ）　（β－ｂ）（ｙ－ｂ）
────────────＋──────────＝１
　　　　ａ^2　　　　　　　　　　　ｂ^2
これが原点を通るから、ｘ＝０，ｙ＝０を代入して、
（α－２ａ）（－２ａ）　（β－ｂ）（－ｂ）
───────────＋──────────＝１
　　　　ａ^2　　　　　　　　　　ｂ^2

（α－２ａ）（－２）　（β－ｂ）（－１）
──────────＋─────────＝１
　　　　ａ　　　　　　　　　　ｂ

両辺にａｂをかけて、
－２ｂ（α－２ａ）－ａ（β－ｂ）＝ａｂ
－２ｂα＋４ａｂ－ａβ＋ａｂ－ａｂ＝０
２ｂα＋ａβ－４ａｂ＝０
　　　　２ｂ
∴β＝－──・α＋４ｂ
　　　　　ａ

この接点（α，β）は、楕円上にあるから、代入して、
（α－２ａ）^2　（β－ｂ）^2
───────＋──────＝１
　　ａ^2　　　　　　ｂ^2

（α－２ａ）^2　｛（－２ｂ／ａ）α＋４ｂ－ｂ｝^2
───────＋────────────────＝１
　　ａ^2　　　　　　　　　　　ｂ^2

両辺にａ^2ｂ^2をかけて、
ｂ^2（α－２ａ）^2＋ａ^2｛（－２ｂ／ａ）α＋３ｂ｝^2＝ａ^2ｂ^2
ｂ^2α^2－４ａｂ^2α＋４ａ^2ｂ^2＋４ｂ^2α^2
　　　　　　　　－１２ａｂ^2α＋９ａ^2ｂ^2－ａ^2ｂ^2＝０
５ｂ^2α^2－１６ａｂ^2α＋１２ａ^2ｂ^2＝０
ｂ^2で両辺を割って、
５α^2－１６ａα＋１２ａ^2＝０
（５α－６ａ）（α－２ａ）＝０
　　　６
∴α＝─ａ、２ａ
　　　５
βの式に代入して、
　　　２ｂ　６　　　　　　１２ｂ　　　　－１２ｂ＋２０ｂ　８
β＝－──・─ａ＋４ｂ＝－───＋４ｂ＝────────＝─ｂ
　　　　ａ　５　　　　　　　５　　　　　　　　　５　　　　５
または、
　　　２ｂ
β＝－──・２ａ＋４ｂ＝－４ｂ＋４ｂ＝０
　　　　ａ

したがって、
　　　６　　８　　　　　　　　　　　　　　（８／５）ｂ　　４ｂ
接点（─ａ，─ｂ）と原点を通る接線は、ｙ＝──────ｘ＝──ｘ
　　　５　　５　　　　　　　　　　　　　　（６／５）ａ　　３ａ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴４ｂｘ－３ａｙ＝０………（答）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０
接点（２ａ，０）と原点を通る接線は、ｙ＝──ｘ＝０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２ａ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴ｙ＝０（ｘ軸）………（答）