質問＜１４８０＞２００３／１１／１１
from=マグマ
「三角形平面と直線の交点」

　はじめまして。空間とベクトルについての質問です。
　３次元空間において３点A,B,Cを頂点とする三角形△ABCが作る平面がある。
この平面上にない定点Pがあって、Pを通る直線が△ABCと交差するかどうかの
判定基準についてです。
　まず、三角形内の平面を表す式をx=a+s(b-a)+t(c-a)　(x,a,b,c:ベクトル　
s,t:パラメータ）とし、一方の点P（位置ベクトルp）を通る直線の式を
x=p+kv (x,p,v:ベクトル　k:実数）とする。ただし、vは直線の方向を定める。
ここでは、vを||v||＝1なる単位ベクトルとしておく。
　そこで、点pを頂点とし、3点A,B,Cがつくる三角形△ABCを底辺とする三角錐
を考える。点Pを基準にして考えると、直線に沿うベクトルvが方向としてこの
三角錐内に入っていれば直線は三角形と交差することになる。
　ここで、vが三角錐内に入る条件として、
「三角錐の側面をなす3つの三角形（△PAB、△PBC、△PCA）の内向きの
各法線ベクトルとvとのなす角がすべて鈍角あるいはすべて鋭角になる」
と、あるのですが、なぜこの判定条件なのかの証明をおねがいします。

お便り２００３／１２／１５
from=T.Kobayashi

v の向きに平面 ABC があるとすると、
ABP の内向き法線ベクトルと v とのなす角が
(a) 鋭角 (b) 直角 (c) 鈍角
であったとすると、v の向きは平面 ABP に関して
(a) c 側 (b) 平面 ABP 上 (c) c と反対側
なので、BCP, CAP に関しても考察すれば、結局
v 方向の直線が三角形 ABC の内部を通過する
ということは、
どの内向き法線ベクトルとのなす角も鋭角
ということと同値になります。
v と反対向きに ABC がある場合には、-v によって
どの内向き法線ベクトルとのなす角も鈍角
ということと同値になります。