質問<1480>2003/11/11
はじめまして。空間とベクトルについての質問です。 3次元空間において3点A,B,Cを頂点とする三角形△ABCが作る平面がある。 この平面上にない定点Pがあって、Pを通る直線が△ABCと交差するかどうかの 判定基準についてです。 まず、三角形内の平面を表す式をx=a+s(b-a)+t(c-a) (x,a,b,c:ベクトル s,t:パラメータ)とし、一方の点P(位置ベクトルp)を通る直線の式を x=p+kv (x,p,v:ベクトル k:実数)とする。ただし、vは直線の方向を定める。 ここでは、vを||v||=1なる単位ベクトルとしておく。 そこで、点pを頂点とし、3点A,B,Cがつくる三角形△ABCを底辺とする三角錐 を考える。点Pを基準にして考えると、直線に沿うベクトルvが方向としてこの 三角錐内に入っていれば直線は三角形と交差することになる。 ここで、vが三角錐内に入る条件として、 「三角錐の側面をなす3つの三角形(△PAB、△PBC、△PCA)の内向きの 各法線ベクトルとvとのなす角がすべて鈍角あるいはすべて鋭角になる」 と、あるのですが、なぜこの判定条件なのかの証明をおねがいします。
お便り2003/12/15
from=T.Kobayashi
v の向きに平面 ABC があるとすると、 ABP の内向き法線ベクトルと v とのなす角が (a) 鋭角 (b) 直角 (c) 鈍角 であったとすると、v の向きは平面 ABP に関して (a) c 側 (b) 平面 ABP 上 (c) c と反対側 なので、BCP, CAP に関しても考察すれば、結局 v 方向の直線が三角形 ABC の内部を通過する ということは、 どの内向き法線ベクトルとのなす角も鋭角 ということと同値になります。 v と反対向きに ABC がある場合には、-v によって どの内向き法線ベクトルとのなす角も鈍角 ということと同値になります。