質問<1479>2003/11/8
xyz空間においてyz平面上の双曲線y^2-z^2/2=1をz軸のまわりに 1回転してできる回転体Qと2平面z=y+1及びz=y-1によって囲まれる 立体図形をKとする。 (1)回転体Q上の点をP(x、y、z)とする時、x^2+y^2を zで表せ。 (2)平面z=y+t(-1≦t≦1)をαとし、回転体Qの方程式と 平面αの方程式からzを消去することによって、平面αによるKの切り口の xy平面上への正射影の周の方程式および正射影の面積を求めよ。 (3)平面αによるKの切り口の面積S(t)を求めよ。 (4)Kの体積Vを求めよ。 学校の課題で出たのですが解けません。 お願いします。
お便り2003/11/10
from=juin
(1)y^2-z^2/2=1より、y^2=1+z^2/2これは、回転体の半径である。 x^2+y^2=1+z^2/2となる。 (2)z=y+tを(1)の結果に代入する。x^2+y^2=1+(y+t)^2/2これを変形すると x^2+(y-t)^2/2=1+t^2/2となる。 これは、長径が2√2√(1+t^2/2),短径が、2√(1+t^2/2)の楕円の方程式である。 面積はπ√2√(1+t^2)√(1+t^2/2)=π(√2)(1+t^2/2) (3)S(t)を45度の角度でxy平面に射影するとπ(√2)(1+t^2/2) S(t)cos(45°)=π(√2)(1+t^2/2) S(t)=2π(1+t^2/2) (4)体積V=∫S(t)(cos45°dt)=∫π(√2)(1+t^2/2)dt=3π√2/7
お便り2005/11/20
from=aki
偶然見つけたのですが、 質問<1479>2003/11/8 の解答が違うと思います。 (1)はあっていると思うのですが、 (2)(3)(4)の解答が違うと思います。 (2) x^2+(y-t)^2/2 = 1+t^2 π(√2)(1+t^2) (3) S(t)=2π(1+t^2) (4) (8π√2)/3 僕もこの問題をやったことがあります。 東京理科大の過去問だったと思います。