質問＜１４７９＞２００３／１１／８
from=ゆりえ
「体積」

ｘｙｚ空間においてｙｚ平面上の双曲線ｙ^2-ｚ^2/2＝１をｚ軸のまわりに
１回転してできる回転体Ｑと２平面ｚ＝ｙ＋１及びｚ＝ｙ－１によって囲まれる
立体図形をＫとする。
（１）回転体Ｑ上の点をＰ（ｘ、ｙ、ｚ）とする時、ｘ＾2＋ｙ＾2を
ｚで表せ。
（２）平面ｚ＝ｙ＋ｔ（－１≦ｔ≦１）をαとし、回転体Ｑの方程式と
平面αの方程式からｚを消去することによって、平面αによるＫの切り口の
ｘｙ平面上への正射影の周の方程式および正射影の面積を求めよ。
（３）平面αによるＫの切り口の面積Ｓ（ｔ）を求めよ。
（４）Ｋの体積Ｖを求めよ。
学校の課題で出たのですが解けません。
お願いします。

お便り２００３／１１／１０
from=juin

(1)y^2-z^2/2=1より、y^2=1+z^2/2これは、回転体の半径である。
x^2+y^2=1+z^2/2となる。

(2)z=y+tを(1)の結果に代入する。x^2+y^2=1+(y+t)^2/2これを変形すると
x^2+(y-t)^2/2=1+t^2/2となる。
これは、長径が2√2√(1+t^2/2),短径が、2√(1+t^2/2)の楕円の方程式である。
面積はπ√2√(1+t^2)√(1+t^2/2)=π(√2)(1+t^2/2)

(3)S(t)を４５度の角度でxy平面に射影するとπ(√2)(1+t^2/2)
S(t)cos(45°)=π(√2)(1+t^2/2)
S(t)=2π(1+t^2/2)

(4)体積V=∫S(t)(cos45°dt)=∫π(√2)(1+t^2/2)dt=3π√2/7

お便り２００５／１１／２０
from=ａｋｉ

偶然見つけたのですが、
　質問＜１４７９＞２００３／１１／８
　の解答が違うと思います。
（１）はあっていると思うのですが、
（２）（３）（４）の解答が違うと思います。

（２）　x^2+(y-t)^2/2 = 1+t^2
　　　　π(√2)(1+t^2)
（３）　S(t)=2π(1+t^2)
（４）　(8π√2)/3

僕もこの問題をやったことがあります。
東京理科大の過去問だったと思います。